Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEylemsizlik Momenti

Boyu LL, kütlesi MM olan homojen, ince ve düzgün bir tel, tam orta noktasından bükülerek birbirine dik iki eşit kola sahip L şeklinde bir çerçeve haline getiriliyor.

Bu çerçeve, aşağıdaki eksenler etrafında çerçeve düzlemine dik olacak şekilde döndürüldüğünde eylemsizlik momentleri sırasıyla I1I_1, I2I_2 ve I3I_3 olmaktadır:
- I1I_1: Çerçevenin büküm noktasından (köşesinden) geçen eksene göre eylemsizlik momenti,
- I2I_2: Çerçevenin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti,
- I3I_3: Çerçevenin kollarından birinin orta noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti.

Buna göre; I1I_1, I2I_2 ve I3I_3 arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    I1>I3>I2I_1 > I_3 > I_2
  2. I1=I3>I2I_1 = I_3 > I_2Cevap
  3. C
    I3>I1>I2I_3 > I_1 > I_2
  4. D
    I2>I1=I3I_2 > I_1 = I_3
  5. E
    I1=I2>I3I_1 = I_2 > I_3

Cevap

Eylemsizlik momentleri arasındaki büyüklük ilişkisi I1=I3>I2I_1 = I_3 > I_2 şeklindedir.
Köşe noktasından geçen Eksen 1 ve kolun orta noktasından geçen Eksen 3, sistemin kütle merkezine eşit uzaklıktadır. Paralel eksen teoremi (I=IKM+Md2I = I_{KM} + M d^2) uyarınca, kütle merkezine eşit uzaklıktaki paralel eksenlerin eylemsizlik momentleri birbirine eşittir (I1=I3I_1 = I_3). Ayrıca, kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti (I2I_2) her zaman en küçük değeri aldığından, I1=I3>I2I_1 = I_3 > I_2 ilişkisi geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
L-şeklindeki çerçevenin kütle merkezinin koordinatlarını belirleyin.
Büküm noktasını (köşeyi) başlangıç noktası (0,0)(0,0) olarak kabul edersek, her biri M/2M/2 kütleli ve L/2L/2 uzunluklu kolların kütle merkezleri sırasıyla (L/4,0)(L/4, 0) ve (0,L/4)(0, L/4) noktalarındadır. Sistemin kütle merkezi, bu iki noktanın tam ortası olan (L/8,L/8)(L/8, L/8) noktasıdır.
Paralel eksen teoremini uygulayabilmek için öncelikle sistemin kütle merkezinin konumunu bulmamız gerekir.
2
Eksen 1 (büküm noktası) ve Eksen 3'ün (kolun orta noktası) kütle merkezine olan uzaklıklarını hesaplayın.
Eksen 1'in (0,0)(0,0) kütle merkezine (L/8,L/8)(L/8, L/8) uzaklığının karesi: d12=(L/8)2+(L/8)2=L232d_1^2 = (L/8)^2 + (L/8)^2 = \frac{L^2}{32} olur. Eksen 3'ün (L/4,0)(L/4, 0) kütle merkezine uzaklığının karesi ise: d32=(L/4−L/8)2+(0−L/8)2=(L/8)2+(L/8)2=L232d_3^2 = (L/4 - L/8)^2 + (0 - L/8)^2 = (L/8)^2 + (L/8)^2 = \frac{L^2}{32} olur. Buradan d1=d3d_1 = d_3 sonucuna ulaşılır.
Paralel eksen teoreminde kullanılacak uzaklık parametrelerini belirlemek için bu hesaplama gereklidir.
3
Paralel eksen teoremini kullanarak eylemsizlik momentlerini karşılaştırın.
Kütle merkezinden geçen eksene paralel herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti I=IKM+Md2I = I_{KM} + M d^2 ile verilir. Burada IKM=I2I_{KM} = I_2'dir. d1=d3d_1 = d_3 olduğundan, I1=I2+Md12=I2+Md32=I3I_1 = I_2 + M d_1^2 = I_2 + M d_3^2 = I_3 eşitliği elde edilir.
Aynı uzaklıktaki paralel eksenlerin eylemsizlik momentlerinin eşit olduğunu kanıtlamak için.
4
Kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentinin büyüklüğünü diğerleriyle karşılaştırın.
Paralel eksen teoremi gereği, bir cismin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti I2I_2 (yani IKMI_{KM}), tüm paralel eksenler içindeki en küçük eylemsizlik momentidir (d=0d = 0 durumu). Dolayısıyla I1=I3>I2I_1 = I_3 > I_2 ilişkisi bulunur.
Sistemin kütle merkezindeki eylemsizlik momentinin her zaman en küçük değerde olduğunu göstermek için.

Anahtar Kavram

Paralel eksen teoremi ve kütle dağılımının eylemsizlik momentine etkisi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Eylemsizlik Momenti

Bu konudan daha fazla soru