\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}

kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}

için

f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{2x - 1}

eşitliğini sağlamaktadır.

f(3) = \frac{11}{2}

olduğuna göre,

f(6)

değeri kaçtır?

Doğru cevap 55'tir.

Verilen türev fonksiyonunda pay çarpanlarına ayrılıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 - x

elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C

bulunur.

f(3) = \frac{11}{2}

koşulu kullanılarak

C = 1

olarak elde edilir. Buradan fonksiyon kuralı

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1

olarak belirlenir ve

x = 6

yazıldığında sonuç 55 bulunur.

Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırma ve sadeleştirme

2x^3 - 3x^2 + x = x(2x^2 - 3x + 1) = x(2x-1)(x-1)

İfadeyi türev denkleminde yerine yazıp

2x - 1

terimlerini sadeleştirdiğimizde (çünkü

x \neq \frac{1}{2}

f'(x) = \frac{x(2x-1)(x-1)}{2x-1} = x^2 - x

elde edilir.

Belirsiz integral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi sadeleştirmeliyiz.

Belirsiz integral kurallarını kullanarak genel fonksiyon kuralın�� bulma

f(x) = \int (x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C

(

C \in \mathbb{R}

)

f'(x)

fonksiyonundan

f(x)

fonksiyonuna geçmek için her iki tarafın belirsiz integralini alırız.

Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan

C

değerini hesaplama

f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + C = 9 - \frac{9}{2} + C = \frac{9}{2} + C

\frac{9}{2} + C = \frac{11}{2} \implies C = 1

elde edilir.
Böylece fonksiyonun kuralı:

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1

olur.

Belirsiz integral sabitinin değerini bulmak için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.

f(6)

değerini hesaplama

f(6) = \frac{6^3}{3} - \frac{6^2}{2} + 1 = 72 - 18 + 1 = 55

Fonksiyonun kuralında

x

yerine

6

yazarak istenen değer hesaplanır.

Polinom fonksiyonların belirsiz integrali ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması

Soru