Examkin

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

51 soru

Soru 1Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere,
∫x3−xx−1 dx\int \frac{x^3 - x}{x - 1} \, dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

Cevap

İntegralin eşiti x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C ifadesidir.
İntegral içindeki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde x2+xx^2 + x elde edilir. Bu ifadenin terim terim integrali alındığında x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin payını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) olduğundan, x≠1x \neq 1 için x3−xx−1=x(x+1)=x2+x\frac{x^3 - x}{x - 1} = x(x + 1) = x^2 + x elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek için ifadeyi polinom durumuna getirmek gerekir.
2
Elde edilen polinom ifadesinin belirsiz integralini hesaplayın.
∫(x2+x) dx=x33+x22+C\int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
Belirsiz integral alma kurallarına göre her terimin üssü 1 artırılır ve yeni üsse bölünür, ardından integral sabiti (C) eklenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi
Soru 2Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)) dx=x4−2x3+5x2+C\int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) \, dx = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen integral ifadesinin içi, (x2⋅f(x))(x^2 \cdot f(x)) ifadesinin türevidir. Bu sebeple integral dışına x2⋅f(x)+C1x^2 \cdot f(x) + C_1 olarak çıkar. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyle eşleştirildiğinde, f(x)f(x) fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için sabit terimler farkının sıfır olması gerekir. Buradan f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda değişken yerine 3 yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadeyi analiz etmek ve çarpım türevi biçiminde yazmak.
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)=(x2⋅f(x))′2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = (x^2 \cdot f(x))' eşitliği görülür.
Çarpım türevi kuralına göre, birinci terimin türevi çarpı ikinci artı ikinci terimin türevi çarpı birinci ifadesi (x2⋅f(x))′(x^2 \cdot f(x))' türevine eşittir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki belirsiz integrali hesaplamak ve integral sabitlerini düzenlemek.
x2⋅f(x)+C1=x4−2x3+5x2+C  ⟹  x2⋅f(x)=x4−2x3+5x2+Kx^2 \cdot f(x) + C_1 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C \implies x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + K (burada K=C−C1K = C - C_1 gerçel sayısıdır) elde edilir.
Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.
3
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde tanımlı olma koşulunu kullanarak integral sabitini bulmak.
x=0x = 0 için sol taraf sıfır olduğundan sağ tarafın da sıfır olması gerekir. Buradan K=0K = 0 bulunur. Dolayısıyla x2⋅f(x)=x4−2x3+5x2x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 elde edilir.
ff fonksiyonu gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğundan, f(x)=x2−2x+5+Kx2f(x) = x^2 - 2x + 5 + \frac{K}{x^2} ifadesinde limitin bulunabilmesi için K=0K = 0 olmalıdır.
4
f(x)f(x) fonksiyonunu yalnız bırakarak f(3)f(3) değerini hesaplamak.
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 olur. Buradan f(3)=32−2(3)+5=9−6+5=8f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8 bulunur.
Her iki taraf x2x^2 ifadesine bölünerek genel fonksiyon kuralı elde edilir ve istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpım türevi integrali
Soru 3Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir bir ff fonksiyonu için,

∫(x2⋅f′′(x)+2x⋅f′(x))dx=4x3−6x2+C \int \left( x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x) \right) dx = 4x^3 - 6x^2 + C

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=5f(1) = 5 ve f(2)=10f(2) = 10 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 473\frac{47}{3}

Cevap

Fonksiyonun üç noktasındaki değeri kırk yedi bölü üç olur.
Çarpımın türevi ilişkisi kullanılarak integrali alınan fonksiyon x2⋅f′(x)=4x3−6x2+C1x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1 şeklinde elde edilir. İfade x2x^2 ile bölünüp tekrar entegre edildiğinde f(x)=2x2−6x−C1x+C2f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2 fonksiyonuna ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 ve f(2)=10f(2) = 10 sınır koşullarıyla kurulan sistemden C1=10C_1 = 10 ve C2=19C_2 = 19 bulunur. Buradan f(3)f(3) değeri hesaplandığında kırk yedi bölü üç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadenin türev ilişkisini belirleme
İntegral içindeki x2⋅f′′(x)+2x⋅f′(x)x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x) ifadesinin, çarpımın türevi kuralı gereğince (x2⋅f′(x))′(x^2 \cdot f'(x))' ifadesine eşit olduğu görülür.
İntegrali doğrudan alabilmek için integrali alınan ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu tespit etmek gerekir.
2
İlk belirsiz integrali hesaplama
x2⋅f′(x)=4x3−6x2+C1x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1 elde edilir. Buradan x>0x > 0 için f′(x)=4x−6+C1x2f'(x) = 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2} bulunur.
Türev-integral ilişkisini kullanarak birinci türev fonksiyonunu integral sabitiyle birlikte elde etmek.
3
İkinci belirsiz integrali hesaplama
f(x)=∫(4x−6+C1x2)dx=2x2−6x−C1x+C2f(x) = \int \left( 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2} \right) dx = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2 olarak bulunur.
Birinci türevin integralini alarak orijinal fonksiyona ulaşmak.
4
Verilen sınır koşulları ile denklem sistemi kurma ve çözme
f(1)=5  ⟹  −C1+C2=9f(1) = 5 \implies -C_1 + C_2 = 9 ve f(2)=10  ⟹  −C12+C2=14f(2) = 10 \implies -\frac{C_1}{2} + C_2 = 14 denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde C1=10C_1 = 10 ve C2=19C_2 = 19 bulunur. Fonksiyon f(x)=2x2−6x−10x+19f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{10}{x} + 19 olarak kesinleşir.
Bilinmeyen integral sabitlerini verilen fonksiyon değerleri yardımıyla belirlemek.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(3)=2(3)2−6(3)−103+19=19−103=473f(3) = 2(3)^2 - 6(3) - \frac{10}{3} + 19 = 19 - \frac{10}{3} = \frac{47}{3} olarak hesaplanır.
Bulunan genel fonksiyonda x=3x = 3 değerini yerine yazarak sonucu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevi kuralının integralde geri inşası ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →
Türevi tüm gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olan bir ff fonksiyonunun birinci türevi f′f' ile ifade edilmektedir. x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} olmak üzere,
f′(x)=2x3+x2−2x−1x2−1f'(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^2 - 1}
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Fonksiyonun integral sabitiyle beraber doğru ifadesi f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 olup, buradan f(0)=−1f(0) = -1 elde edilir.
Doğru cevap olan -1 değeri, integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi olan f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C bulunduktan sonra f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulundan C=−1C = -1 sabiti elde edilerek bulunur. Buradan f(0)=−1f(0) = -1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.
x≠±1x \neq \pm 1 için f′(x)=(x2−1)(2x+1)x2−1=2x+1f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x + 1)}{x^2 - 1} = 2x + 1 elde edilir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralını bulmak.
f(x)=∫(2x+1) dx=x2+x+Cf(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C elde edilir.
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral kuralları uygulanır.
3
Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi hesaplamak.
22+2+C=5  ⟹  6+C=5  ⟹  C=−12^2 + 2 + C = 5 \implies 6 + C = 5 \implies C = -1 bulunur.
Belirsiz integraldeki sabit sayıyı tek bir fonksiyona indirgemek için sınır koşulu kullanılır.
4
Bulunan f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 kuralında x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini bulmak.
f(0)=02+0−1=−1f(0) = 0^2 + 0 - 1 = -1 elde edilir.
Soru bizden f(0)f(0) değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması.
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=3x2−2x+4f'(x) = 3x^2 - 2x + 4
olarak verilmiştir.

f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında f(x)=x3−x2+4x+Cf(x) = x^3 - x^2 + 4x + C ifadesine ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulu yerine yazıldığında 1−1+4+C=51 - 1 + 4 + C = 5 denklemi elde edilir ve buradan C=1C = 1 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 olarak belirlenir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 8−4+8+1=138 - 4 + 8 + 1 = 13 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.
f(x)=∫(3x2−2x+4) dx=x3−x2+4x+Cf(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C (burada CC bir gerçel sayı olan integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.
2
f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplayın.
f(1)=13−12+4(1)+C=5  ⟹  4+C=5  ⟹  C=1f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1
İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.
3
Belirlenen f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu bulun.
f(2)=23−22+4(2)+1=8−4+8+1=13f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13
Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 6Soru →
∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C

Cevap

x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Verilen integral ifadesindeki terimler tek tek entegre edildiğinde 3x23x^2 terimi x3x^3 ifadesine, −4x-4x terimi −2x2-2x^2 ifadesine ve 11 sabit terimi de xx ifadesine dönüşür. Belirsiz integralin tanımı gereği sonucun sonuna mutlaka bir integral sabiti (+C+C) eklenmelidir. Bu işlemler sonucunda doğru ifade x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integralin terim terim ayrılabilme özelliğini uygulayın.
∫3x2 dx−∫4x dx+∫1 dx\int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx
Toplam ve fark durumundaki ifadelerin integrali, her bir terimin ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.
2
Her bir terim için polinom integral alma kuralını (üssü 1 artırıp yeni üsse bölme) uygulayın.
3⋅x33−4⋅x22+1⋅x3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot x
n≠−1n \neq -1 olmak üzere ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} temel integral alma kuralıdır.
3
Katsayıları sadeleştirin ve ifadenin sonuna integral sabiti olan CC'yi ekleyin.
x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Belirsiz integralde türevi sıfır olan sabit sayıları temsil etmesi amacıyla sonuca her zaman CC sabit sayısı eklenir.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti
Soru 7Soru →
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx

ve f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun integral sabiti hesaba katılarak elde edilen f(0) değeri 3'tür.
Verilen integral ifadesi hesaplandığında f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C elde edilir. f(1)=3f(1) = 3 koşulu sağlandığında 2(1)3−2(1)2+C=3  ⟹  C=32(1)^3 - 2(1)^2 + C = 3 \implies C = 3 olur. Buradan f(0)=Cf(0) = C olduğundan doğru yanıt 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonu bulmak.
f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C
Belirsiz integral alındığında fonksiyonun genel ifadesi bir C sabitiyle birlikte elde edilir.
2
Verilen f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak C sabitini hesaplamak.
C=3C = 3
Fonksiyonda x yerine 1 yazıldığında elde edilen değer 3'e eşitlenerek integral sabiti belirlenir.
3
Bulunan C değeriyle f(0)f(0) değerini hesaplamak.
f(0)=3f(0) = 3
x yerine 0 yazıldığında x'li terimler sıfırlanır ve geriye sadece C sabiti kalır.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Soru 8Soru →
∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegral tanımı kullanılarak elde edilen 2 değeri
Belirsiz integralin tanımı gereği, bir fonksiyonun integralinin türevi kendisine eşittir. ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C ise F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) olur. Verilen ∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C eşitliğinde her iki tarafın türevi alınırsa sol tarafta integral işareti kalkar ve f(x)f(x) kalır, sağ tarafın türevi ise 2x−42x - 4 olur. Böylece f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=2⋅3−4=2f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alarak integral işaretini kaldırın.
ddx(∫f(x) dx)=ddx(x2−4x+C)\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + C)

f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak sonucu hesaplayın.
f(3)=2(3)−4=2f(3) = 2(3) - 4 = 2
Soruda bizden f(3)f(3) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki
Soru 9Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
F(x)=∫x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxF(x) = \int \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx
eşitliği veriliyor.
f(1)=2f(1) = 2, F(1)=4F(1) = 4 ve f(3)=6f(3) = 6 olduğuna göre, F(3)F(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 33 olarak bulunur.
İntegrali alınacak ifade, bölümün türevi kuralına göre −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} fonksiyonunun türevidir. Bu sayede belirsiz integral F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C şeklinde elde edilir. Verilen başlangıç değerleri kullanılarak integral sabiti C=92C = \frac{9}{2} olarak bulunur. Sonrasında x=3x=3 yazılarak doğru sonuca (33) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadenin yapısını inceleme
İntegral içindeki x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2\frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} ifadesinin, bölümün türevi kuralı olan (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} formülü ile ilişkili olduğu görülür.
Karmaşık görünümlü integrallerde ifadenin hangi bilinen fonksiyonun türevi veya diferansiyeli olduğunu bulmak temel yöntemdir.
2
Bölüm türevi kuralını uygulama
d(−x2f(x))=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxd\left(-\frac{x^2}{f(x)}\right) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx olduğu doğrulanır.
x2f(x)\frac{x^2}{f(x)} ifadesinin türevi alındığında pay kısmında 2x⋅f(x)−x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) oluşur. Verilen integral bunun tam eksilisidir. Bu yüzden −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} ifadesi kullanılır.
3
İntegrali hesaplama ve integral sabitini (CC) bulma
F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C olur. x=1x=1 yazılarak F(1)=−1f(1)+C  ⟹  4=−12+C  ⟹  C=92F(1) = -\frac{1}{f(1)} + C \implies 4 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{9}{2} bulunur.
Belirsiz integral hesaplandıktan sonra ortaya çıkan integral sabitini (CC) bulabilmek için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
F(3)F(3) değerini hesaplama
F(3)=−32f(3)+92=−96+92=−32+92=3F(3) = -\frac{3^2}{f(3)} + \frac{9}{2} = -\frac{9}{6} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3 elde edilir.
Elde edilen genel F(x)F(x) fonksiyonunda istenen x=3x=3 değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı yardımıyla belirsiz integral alma ve integral sabiti hesabı

Alternatif Yöntem

Türevin tanımı kullanılarak eşitliğin her iki tarafının türevi alınabilir: F′(x)=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2F'(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}. Bu ifadenin F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C biçiminde bir fonksiyonun türevi olduğu görülerek aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 10Soru →
Bir ff fonksiyonu, x≠0x \neq 0 olmak üzere,
f(x)=∫2x2−2xx dxf(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.
f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen değer olan 4 sayısıdır.
İntegral içerisindeki ifade sadeleştirilip 2x−22x - 2 biçimine getirildikten sonra belirsiz integrali alınarak f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C kuralı bulunur. Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=5C = 5 olarak elde edilir. Bu kuralda x=1x = 1 yazıldığında fonksiyon değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.
x≠0x \neq 0 için 2x2−2xx=2x(x−1)x=2x−2\frac{2x^2 - 2x}{x} = \frac{2x(x - 1)}{x} = 2x - 2 olur.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştiririz.
2
Elde edilen ifadenin belirsiz integralini hesaplayalım.
f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C (burada CC integral sabitidir)
Polinom fonksiyonların integral alma kurallarını uygularız.
3
f(2)=5f(2) = 5 eşitliğini kullanarak CC integral sabitini belirleyelim.
f(2)=22−2(2)+C=5  ⟹  4−4+C=5  ⟹  C=5f(2) = 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 4 - 4 + C = 5 \implies C = 5 bulunur. Buradan f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 kuralına ulaşılır.
Fonksiyonun tek bir kural belirtmesi için verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini buluruz.
4
f(x)f(x) fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak istenen değeri hesaplayalım.
f(1)=12−2(1)+5=1−2+5=4f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 elde edilir.
Soruda bizden istenen f(1)f(1) değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygularız.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin bulunması
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=∫(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxg(x) = \int \left(x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)\right) dx
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f′(1)=−1g(1)=82⋅f′(2)+3⋅f(2)=9\begin{aligned} f(1) &= 2 \\ f'(1) &= -1 \\ g(1) &= 8 \\ 2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2) &= 9 \end{aligned}

olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

İntegral işlemleri ve verilen sınır koşulları doğru uygulandı��ında sonuç otuz dokuz olarak bulunur.
İntegral altındaki ifadenin, x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen fonksiyona sabit sayı eklenir. Verilen başlangıç koşullarıyla sabit sayı üç olarak bulunur. İkinci noktadaki fonksiyon değeri hesaplanırken katsayı ilişkisi düzenlenerek otuz dokuz sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içerisindeki ifadeyi çarpım türevi kuralına göre analiz etme.
d(x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x))=(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxd(x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x)) = (x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)) dx olduğu görülür.
İntegrali alınacak karmaşık ifadenin temel türev kuralları cinsinden eşiti belirlenmelidir.
2
Belirsiz integrali hesaplama ve integral sabitini ekleme.
g(x)=x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)+Cg(x) = x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) + C elde edilir.
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integrali, integral sabiti eklenerek yazılır.
3
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabiti CC'yi bulma.
8=13⋅(−1)+3⋅12⋅2+C  ⟹  8=5+C  ⟹  C=38 = 1^3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1^2 \cdot 2 + C \implies 8 = 5 + C \implies C = 3 bulunur.
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri sayesinde belirsiz integraldeki sabit sayı hesaplanır.
4
x=2x = 2 noktasındaki değeri verilen bağıntı cinsinden düzenleme ve hesaplama.
g(2)=8⋅f′(2)+12⋅f(2)+3=4(2⋅f′(2)+3⋅f(2))+3g(2) = 8 \cdot f'(2) + 12 \cdot f(2) + 3 = 4(2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2)) + 3 şeklinde yazılır. Buradan g(2)=4⋅9+3=39g(2) = 4 \cdot 9 + 3 = 39 elde edilir.
Ortak çarpan parantezi kullanılarak bilinmeyen ifadeler verilen eşitliğe benzetilir ve sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve çarpım kuralının tersten uygulanması.
Soru 12Soru →

Türevi f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 olan bir ff fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde (1,4)(1, 4) noktasından geçmektedir.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Türev fonksiyonunun integrali alındığında f(x)=3x2−2x+Cf(x) = 3x^2 - 2x + C elde edilir. (1,4)(1, 4) noktası denklemde yerine yazıldığında C=3C = 3 olarak bulunur. Buradan f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak doğru sonuç 1111 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 fonksiyonunun belirsiz integralini alalım.
f(x)=∫(6x−2) dx=3x2−2x+Cf(x) = \int (6x - 2) \, dx = 3x^2 - 2x + C elde edilir.
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
2
f(1)=4f(1) = 4 eşitliğini kullanarak 3x2−2x+C3x^2 - 2x + C ifadesinde xx yerine 11 yazalım.
f(1)=3(1)2−2(1)+C=4⇒1+C=4⇒C=3f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + C = 4 \Rightarrow 1 + C = 4 \Rightarrow C = 3 bulunur.
Grafiğin geçtiği nokta fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
3
f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda xx yerine 22 yazalım.
f(2)=3(2)2−2(2)+3=12−4+3=11f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 3 = 12 - 4 + 3 = 11 elde edilir.
Bulunan genel fonksiyon kuralında istenen girdi yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral yardımıyla ve başlangıç koşulu kullanılarak bulunması.
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
A(x)=∫(x2⋅f′(x)+2x⋅f(x))dxA(x) = \int \left( x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) \right) dx
B(x)=∫(x⋅f′(x)+f(x))dxB(x) = \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.
A(1)=4A(1) = 4, B(1)=2B(1) = 2, A(2)=15A(2) = 15 ve B(2)=7B(2) = 7 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Aranan değer olan 3 sayısı elde edilir.
Doğru cevaba ulaşmak için integrallerin içindeki ifadelerin çarpım türevi kuralları olduğunu fark etmeliyiz. A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 olarak integre edilir. x=1x = 1 için verilenlerden C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı çıkarılır. Ardından x=2x = 2 için 4⋅f(2)+C1=154 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklemleri yazılır. İlk denklemde C1C_1 yerine C2+2C_2 + 2 yazıldığında 4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=62 \cdot f(2) = 6 ve buradan f(2)=3f(2) = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral kurallarını kullanarak A(x)A(x) ve B(x)B(x) ifadelerinin belirsiz integrallerini belirleyelim.
A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 elde edilir.
Çarpım türevi kuralından (x2⋅f(x))′=x2⋅f′(x)+2x⋅f(x)(x^2 \cdot f(x))' = x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ve (x⋅f(x))′=x⋅f′(x)+f(x)(x \cdot f(x))' = x \cdot f'(x) + f(x) olduğunu biliyoruz. Belirsiz integral, türevin tersi olduğundan bu sonuçlara ulaşılır.
2
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabitleri C1C_1 ve C2C_2 arasındaki ilişkiyi bulalım.
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı elde edilir.
A(1)=12⋅f(1)+C1=4A(1) = 1^2 \cdot f(1) + C_1 = 4 ve B(1)=1⋅f(1)+C2=2B(1) = 1 \cdot f(1) + C_2 = 2 eşitlikleri taraf tarafa çıkarılarak f(1)f(1) terimi yok edilir.
3
x=2x = 2 için verilen değerleri ve bulduğumuz sabit ilişkisini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.
A(2)=4⋅f(2)+C1=15A(2) = 4 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve B(2)=2⋅f(2)+C2=7B(2) = 2 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklem sistemi elde edilir.
Belirsiz integral sonuçlarında x=2x = 2 yazılarak bu eşitlikler elde edilir.
4
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 ilişkisini A(2)A(2) denkleminde yerine yazıp denklem sistemini çözelim.
f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
4⋅f(2)+C2+2=15  ⟹  4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 + 2 = 15 \implies 4 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=6  ⟹  f(2)=32 \cdot f(2) = 6 \implies f(2) = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve çarpım türevinin tersini bulma
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫x⋅f′(x) dx=2x3−3x2+C\int x \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x elde edilir. Her iki taraf xx ile bölündüğünde f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x2−6x+C1f(x) = 3x^2 - 6x + C_1 bulunur. f(1)=4f(1) = 4 koşuluyla C1=7C_1 = 7 olarak elde edilir. Buradan f(2)=3(2)2−6(2)+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x
Belirsiz integralin türevi, integralin içerisindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte her iki taraf xx ile bölünerek f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için öncelikle türev fonksiyonunun kuralı bulunmalıdır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel f(x)f(x) kuralı yazılır.
f(x)=∫(6x−6) dx=3x2−6x+C1f(x) = \int (6x - 6) \, dx = 3x^2 - 6x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulan��r ve integral sabiti eklenir.
4
f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
f(1)=3(1)2−6(1)+C1=4  ⟹  −3+C1=4  ⟹  C1=7f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + C_1 = 4 \implies -3 + C_1 = 4 \implies C_1 = 7
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri yardımıyla belirsiz integraldeki sabit terim netleştirilir.
5
Kuralı f(x)=3x2−6x+7f(x) = 3x^2 - 6x + 7 olarak bulunan fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak sonuç elde edilir.
f(2)=3(2)2−6(2)+7=12−12+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 12 - 12 + 7 = 7
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen herhangi bir noktadaki değeri doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ve temel integral alma kuralları yardımıyla fonksiyon kurallarının bulunması.

Alternatif Yöntem

Elde edilen f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 fonksiyonu için belirli integral yardımıyla da sonuca ulaşılabilir. ∫12f′(x) dx=f(2)−f(1)\int_{1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(1) eşitliği yazılırsa, ∫12(6x−6) dx=[3x2−6x]12=(12−12)−(3−6)=3\int_{1}^{2} (6x - 6) \, dx = [3x^2 - 6x]_{1}^{2} = (12 - 12) - (3 - 6) = 3 olur. Buradan f(2)−f(1)=3  ⟹  f(2)−4=3  ⟹  f(2)=7f(2) - f(1) = 3 \implies f(2) - 4 = 3 \implies f(2) = 7 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları,
∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=2x2+3x+C\int \left( f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \right) dx = 2x^2 + 3x + C
f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x
eşitliklerini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Çarpımın türevi kuralı kullanılarak belirsiz integralden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 ifadesi elde edilir. x=1x = 1 için sınır koşulları (f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2) yerine yazıldığında integral sabiti C0=1C_0 = 1 olarak bulunur. Sonrasında x=2x = 2 için oluşturulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, fonksiyonların sürekliliği göz önüne alınarak g(2)=3g(2) = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen belirsiz integralin sol tarafındaki ifadeyi çarpımın türevi kuralı yardımıyla sadeleştirmek.
∫(f(x)⋅g(x))′ dx=2x2+3x+C\int (f(x) \cdot g(x))' \, dx = 2x^2 + 3x + C ifadesinden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 elde edilir (burada C0C_0 bir integral sabitidir).
İntegral altındaki f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) ifadesi, f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) çarpımının türevidir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini kullanarak g(1)g(1) değerini bulmak.
x=1x = 1 için f(1)−g(1)=1  ⟹  3−g(1)=1  ⟹  g(1)=2f(1) - g(1) = 1 \implies 3 - g(1) = 1 \implies g(1) = 2 bulunur.
C0C_0 sabitini belirlemek amacıyla öncelikle g(1)g(1) değerinin bulunması gerekir.
3
f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2 değerlerini çarpım denkleminde yerine yazarak C0C_0 sabitini hesaplamak.
f(1)⋅g(1)=2(1)2+3(1)+C0  ⟹  3⋅2=5+C0  ⟹  C0=1f(1) \cdot g(1) = 2(1)^2 + 3(1) + C_0 \implies 3 \cdot 2 = 5 + C_0 \implies C_0 = 1 bulunur. Böylece her xx gerçel sayısı için f(x)⋅g(x)=2x2+3x+1f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + 1 fonksiyon ilişkisi kurulmuş olur.
İntegral sabitinin net değerini bulmak, fonksiyonun diğer noktalardaki değerlerini doğru hesaplayabilmek için şarttır.
4
x=2x = 2 için f(2)⋅g(2)f(2) \cdot g(2) değerini hesaplamak ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini x=2x = 2 için yazmak.
f(2)⋅g(2)=2(2)2+3(2)+1=15f(2) \cdot g(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15
f(2)−g(2)=2  ⟹  f(2)=g(2)+2f(2) - g(2) = 2 \implies f(2) = g(2) + 2 elde edilir.
g(2)g(2) değerine ulaşmak için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
5
f(2)f(2) değerini çarpım denkleminde yerine yazarak g(2)g(2) değerine bağlı ikinci dereceden denklemi çözmek.
(g(2)+2)⋅g(2)=15  ⟹  [g(2)]2+2g(2)−15=0  ⟹  (g(2)+5)(g(2)−3)=0(g(2) + 2) \cdot g(2) = 15 \implies [g(2)]^2 + 2g(2) - 15 = 0 \implies (g(2) + 5)(g(2) - 3) = 0
Buradan g(2)=3g(2) = 3 veya g(2)=−5g(2) = -5 bulunur.
g(2)g(2) değerinin alabileceği olası kökleri belirlemek.
6
ff ve gg fonksiyonlarının gerçel sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla sürekli) olmasını kullanarak doğru kökü seçmek.
g(x)=−x+∣3x+2∣2=x+1g(x) = \frac{-x + |3x+2|}{2} = x + 1 (çünkü g(1)=2>0g(1) = 2 > 0 olup fonksiyonun işareti x>−2/3x > -2/3 için pozitiftir). Dolayısıyla g(2)=2+1=3g(2) = 2 + 1 = 3 olmalıdır.
Fonksiyonun süreklilik koşulu altında tek bir tanımlı dalı olabileceğinden negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi, çarpımın türevi integrali ve sınır koşulları yardımıyla fonksiyon tayini.
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(2x+1)⋅f′(x) dx=2x3+x22−x+C\int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

f(2) = 5
Verilen integral eşitliğinin her iki yanının türevi alındığında (2x+1)f′(x)=(2x+1)(3x−1)(2x + 1) f'(x) = (2x+1)(3x-1) elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında f′(x)=3x−1f'(x) = 3x - 1 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x22−x+C1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + C_1 bulunur. f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} koşulu kullanılarak C1=1C_1 = 1 olarak elde edilir. Buradan fonksiyon f(x)=3x22−x+1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1 bulunur ve f(2)=5f(2) = 5 değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
(2x+1)⋅f′(x)=6x2+x−1(2x + 1) \cdot f'(x) = 6x^2 + x - 1
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Türev alma sonucu oluşan 6x2+x−16x^2 + x - 1 ifadesi çarpanlarına ayrılır.
(2x+1)⋅f′(x)=(2x+1)(3x−1)(2x + 1) \cdot f'(x) = (2x + 1)(3x - 1)
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak çarpanları sadeleştirmek için sağ taraf çarpanlarına ayrılmalıdır.
3
Her iki taraf 2x+12x + 1 ile sadeleştirilerek f′(x)f'(x) fonksiyonu yalnız bırakılır.
f′(x)=3x−1f'(x) = 3x - 1
f(x) fonksiyonunu bulmak için öncelikle türev fonksiyonu olan f'(x) elde edilmelidir.
4
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=∫(3x−1) dx=3x22−x+C1f(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.
5
Verilen f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti C1C_1 hesaplanır.
f(1)=3(1)22−1+C1=32  ⟹  C1=1f(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 + C_1 = \frac{3}{2} \implies C_1 = 1
Fonksiyonun tam kuralını bulabilmek için belirsiz integralden gelen sabit sayı belirlenmelidir.
6
f(x)=3x22−x+1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(2)=3(2)22−2+1=6−2+1=5f(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5
Soruda bizden istenen f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral ve integral alma kuralları kullanılarak kendisinin elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 17Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, x≠2x \neq 2 için

f(x)=∫3x3−6x2x−2 dxf(x) = \int \frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} \, dx

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=10f(2) = 10 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Verilen rasyonel ifade sadeleştirilip integral kuralları uygulandığında f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C elde edilir. Süreklilik gereği f(2)=10f(2) = 10 olduğundan C=2C = 2 bulunur. Buradan f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2 kuralına ulaşılır ve f(1)=3f(1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.
x≠2x \neq 2 için 3x3−6x2x−2=3x2(x−2)x−2=3x2\frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} = \frac{3x^2(x - 2)}{x - 2} = 3x^2 elde edilir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapılır.
2
Sadeleşen ifadenin belirsiz integralini alalım.
f(x)=∫3x2 dx=x3+Cf(x) = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C bulunur.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(2)=10f(2) = 10 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) hesaplayalım.
f(2)=23+C=10⇒8+C=10⇒C=2f(2) = 2^3 + C = 10 \Rightarrow 8 + C = 10 \Rightarrow C = 2 bulunur.
Sürekli bir fonksiyonun verilen noktadaki değeri kullanılarak bilinmeyen integral sabiti belirlenir.
4
Fonksiyon denkleminde x=1x = 1 yazarak istenen değeri bulalım.
f(1)=13+2=3f(1) = 1^3 + 2 = 3 elde edilir.
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen noktadaki değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve temel belirsiz integral alma kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için x>0x > 0 olmak üzere,
∫x⋅f′(x)−2f(x)x3 dx=x2−3x+C\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = x^2 - 3x + C
eşitliği verilmektedir.
f(1)=4f(1) = 4
olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 değeri doğrudur.
Bölümün türevi kuralı hatırlandığında integralin içindeki ifadenin f(x)x2\frac{f(x)}{x^2} fonksiyonunun türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen f(x)x2=x2−3x+K\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K eşitliğinde f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu yerine yazılırsa integral sabiti K=6K = 6 olarak bulunur. Buradan f(x)=x4−3x3+6x2f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 fonksiyonuna ulaşılır ve bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında doğru değer olan 1616 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu bölüm kuralı yardımıyla belirleme.
(f(x)x2)′=f′(x)⋅x2−2x⋅f(x)x4=x⋅f′(x)−2f(x)x3\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{f'(x) \cdot x^2 - 2x \cdot f(x)}{x^4} = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3}
olduğu görülür.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla integrali alınan ifadenin bilinen bir türev kalıbı olup olmadığını incelemek gerekir.
2
Elde edilen türev ilişkisini integral eşitliğinde yerine yazarak her iki tarafın integralini alma.
f(x)x2=x2−3x+K\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K
(burada KK gerçel sayı olan bir integral sabitidir) bağıntısı elde edilir.
Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonun kendisini (bir sabit farkıyla) bulma işlemidir.
3
f(1)=4f(1) = 4 bilgisini kullanarak KK integral sabitini bulma.
f(1)12=12−3(1)+K  ⟹  4=−2+K  ⟹  K=6\frac{f(1)}{1^2} = 1^2 - 3(1) + K \implies 4 = -2 + K \implies K = 6
Buradan fonksiyon f(x)=x4−3x3+6x2f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 olarak elde edilir.
Özel bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel integral ailesinden spesifik fonksiyonumuza ait sabit değer tespit edilir.
4
Bulunan f(x)f(x) fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu hesaplama.
f(2)=24−3(23)+6(22)=16−24+24=16f(2) = 2^4 - 3(2^3) + 6(2^2) = 16 - 24 + 24 = 16 bulunur.
Soruda bizden istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kalıbını fark ederek belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonu inşa etme.
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫(3x2−2ax+5) dxf(x) = \int (3x^2 - 2ax + 5) \, dx
eşitliği verilmektedir.
f(1)=4f(1) = 4 ve f(2)=7f(2) = 7 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 olan seçenektir.
Verilen belirsiz integralin kurallara göre integrali alındığında fonksiyon f(x)=x3−ax2+5x+Cf(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C biçiminde elde edilir. f(1)=4f(1) = 4 koşulundan C−a=−2C - a = -2 ve f(2)=7f(2) = 7 koşulundan C−4a=−11C - 4a = -11 denklemlerine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=3a = 3 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel kuralını integral sabiti ile birlikte yazmak.
f(x)=x3−ax2+5x+Cf(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C
Belirsiz integral kurallarına göre ∫3x2 dx=x3\int 3x^2 \, dx = x^3, ∫−2ax dx=−ax2\int -2ax \, dx = -ax^2 ve ∫5 dx=5x\int 5 \, dx = 5x olarak integral dışına çıkar ve ifadeye bir CC integral sabiti eklenir.
2
f(1)=4f(1) = 4 sınır koşulunu kullanarak integral sabiti ile bilinmeyen parametre arasındaki ilk ilişkiyi bulmak.
C=a−2C = a - 2
Fonksiyonda x=1x = 1 yazıldığında 13−a(1)2+5(1)+C=4  ⟹  6−a+C=41^3 - a(1)^2 + 5(1) + C = 4 \implies 6 - a + C = 4 elde edilir ve bu eşitlikten CC yalnız bırakılır.
3
f(2)=7f(2) = 7 sınır koşulunu kullanarak ikinci denklemi kurmak ve elde edilen denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve C=1C = 1
Fonksiyonda x=2x = 2 yaz��ldığında 23−a(2)2+5(2)+C=7  ⟹  18−4a+C=7  ⟹  C−4a=−112^3 - a(2)^2 + 5(2) + C = 7 \implies 18 - 4a + C = 7 \implies C - 4a = -11 elde edilir. C=a−2C = a - 2 ifadesi bu denklemde yerine yazıldığında (a−2)−4a=−11  ⟹  −3a=−9  ⟹  a=3(a - 2) - 4a = -11 \implies -3a = -9 \implies a = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonunun türevi her x≠1x \neq 1 için,
f′(x)={3x2−2x,x>12x+a,x<1f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x, & x > 1 \\ 2x + a, & x < 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

f(2)=6f(2) = 6 ve f(0)=−2f(0) = -2 olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İntegral sabitleri ve fonksiyonun süreklilik şartı doğru uygulandığında elde edilen değer −4-4 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle her iki aralıkta ayrı ayrı belirsiz integral alınarak integral sabitleri belirlenir. x>1x > 1 aralığında f(2)=6f(2) = 6 kullanılarak birinci integral sabiti 22 olarak bulunur. x<1x < 1 aralığında f(0)=−2f(0) = -2 kullanılarak ikinci integral sabiti −2-2 olarak bulunur. Fonksiyon gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden a=3a = 3 değeri elde edilir. Buradan x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 kuralına ulaşılır. Bu kuralda x=−1x = -1 yazılarak doğru yanıt olan −4-4 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x>1x > 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=3x2−2x⇒f(x)=x3−x2+C1f'(x) = 3x^2 - 2x \Rightarrow f(x) = x^3 - x^2 + C_1 elde edilir. f(2)=6f(2) = 6 verildiğinden, 23−22+C1=6⇒4+C1=6⇒C1=22^3 - 2^2 + C_1 = 6 \Rightarrow 4 + C_1 = 6 \Rightarrow C_1 = 2 bulunur. Dolayısıyla x>1x > 1 için f(x)=x3−x2+2f(x) = x^3 - x^2 + 2 olur.
Fonksiyonun x>1x > 1 bölgesindeki kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitini bulmamız gerekir.
2
x<1x < 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=2x+a⇒f(x)=x2+ax+C2f'(x) = 2x + a \Rightarrow f(x) = x^2 + ax + C_2 elde edilir. f(0)=−2f(0) = -2 verildiğinden, 02+a(0)+C2=−2⇒C2=−20^2 + a(0) + C_2 = -2 \Rightarrow C_2 = -2 bulunur. Dolayısıyla x<1x < 1 için f(x)=x2+ax−2f(x) = x^2 + ax - 2 olur.
Fonksiyonun x<1x < 1 bölgesindeki kuralını integral sabitiyle birlikte oluşturmak için bu adım gereklidir.
3
Süreklilik şartını kullanarak aa bilinmeyenini bulunuz.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasında da süreklidir. Bu durumda sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır: lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)⇒13−12+2=12+a(1)−2⇒2=a−1⇒a=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \Rightarrow 1^3 - 1^2 + 2 = 1^2 + a(1) - 2 \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Parçalı tanımlı fonksiyonların sınır noktasındaki sürekliliği, farklı bölgelerdeki kuralların birbirine bağlanmasını sağlar.
4
Belirlenen kuralda x=−1x = -1 yazarak sonucu hesaplayınız.
x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 olduğundan, f(−1)=(−1)2+3(−1)−2=1−3−2=−4f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 bulunur.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için kuralı belirlenmiş olan parçalı fonksiyonda uygun aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirsiz integrali alınırken her bölge için ayrı bir integral sabiti yazılmalı ve bu sabitler fonksiyonun süreklilik şartı kullanılarak belirlenmelidir.
Sayfa 1 / 3Sonraki
Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin