Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
x≠1x \neq 1 olmak üzere,
∫x3−xx−1 dx\int \frac{x^3 - x}{x - 1} \, dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    x2+x+Cx^2 + x + C
  2. B
    x33+x22\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}
  3. x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + CCevap
  4. D
    x33−x22+C\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C
  5. E
    3x2+2x+C3x^2 + 2x + C

Cevap

İntegralin eşiti x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C ifadesidir.
İntegral içindeki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde x2+xx^2 + x elde edilir. Bu ifadenin terim terim integrali alındığında x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin payını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) olduğundan, x≠1x \neq 1 için x3−xx−1=x(x+1)=x2+x\frac{x^3 - x}{x - 1} = x(x + 1) = x^2 + x elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek için ifadeyi polinom durumuna getirmek gerekir.
2
Elde edilen polinom ifadesinin belirsiz integralini hesaplayın.
∫(x2+x) dx=x33+x22+C\int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
Belirsiz integral alma kurallarına göre her terimin üssü 1 artırılır ve yeni üsse bölünür, ardından integral sabiti (C) eklenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru