Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=3x2−2x+4f'(x) = 3x^2 - 2x + 4
olarak verilmiştir.

f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    12
  3. 13Cevap
  4. D
    15
  5. E
    17

Cevap

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında f(x)=x3−x2+4x+Cf(x) = x^3 - x^2 + 4x + C ifadesine ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulu yerine yazıldığında 1−1+4+C=51 - 1 + 4 + C = 5 denklemi elde edilir ve buradan C=1C = 1 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 olarak belirlenir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 8−4+8+1=138 - 4 + 8 + 1 = 13 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.
f(x)=∫(3x2−2x+4) dx=x3−x2+4x+Cf(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C (burada CC bir gerçel sayı olan integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.
2
f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplayın.
f(1)=13−12+4(1)+C=5  ⟹  4+C=5  ⟹  C=1f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1
İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.
3
Belirlenen f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu bulun.
f(2)=23−22+4(2)+1=8−4+8+1=13f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13
Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru