Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir bir f fonksiyonu için, \int … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için,

\int \left( x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x) \right) dx = 4x^3 - 6x^2 + C

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(1) = 5$ ve $f(2) = 10$ olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Fonksiyonun üç noktasındaki değeri kırk yedi bölü üç olur.

Çarpımın türevi ilişkisi kullanılarak integrali alınan fonksiyon

x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1

şeklinde elde edilir. İfade

x^2

ile bölünüp tekrar entegre edildiğinde

f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2

fonksiyonuna ulaşılır.

f(1) = 5

f(2) = 10

sınır koşullarıyla kurulan sistemden

C_1 = 10

C_2 = 19

bulunur. Buradan

f(3)

değeri hesaplandığında kırk yedi bölü üç elde edilir.

İntegral içindeki ifadenin türev ilişkisini belirleme

İntegral içindeki

x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x)

ifadesinin, çarpımın türevi kuralı gereğince

(x^2 \cdot f'(x))'

ifadesine eşit olduğu görülür.

İntegrali doğrudan alabilmek için integrali alınan ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu tespit etmek gerekir.

İlk belirsiz integrali hesaplama

x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1

elde edilir. Buradan

x > 0

için

f'(x) = 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2}

bulunur.

Türev-integral ilişkisini kullanarak birinci türev fonksiyonunu integral sabitiyle birlikte elde etmek.

İkinci belirsiz integrali hesaplama

f(x) = \int \left( 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2} \right) dx = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2

olarak bulunur.

Birinci türevin integralini alarak orijinal fonksiyona ulaşmak.

Verilen sınır koşulları ile denklem sistemi kurma ve çözme

f(1) = 5 \implies -C_1 + C_2 = 9

f(2) = 10 \implies -\frac{C_1}{2} + C_2 = 14

denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

C_1 = 10

C_2 = 19

bulunur. Fonksiyon

f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{10}{x} + 19

olarak kesinleşir.

Bilinmeyen integral sabitlerini verilen fonksiyon değerleri yardımıyla belirlemek.

İstenen fonksiyon değerini hesaplama

f(3) = 2(3)^2 - 6(3) - \frac{10}{3} + 19 = 19 - \frac{10}{3} = \frac{47}{3}

olarak hesaplanır.

Bulunan genel fonksiyonda

x = 3

değerini yerine yazarak sonucu bulmak.

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevi kuralının integralde geri inşası ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması

Tahmini Süre:3m 0s

Soru