Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, OO merkezli birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir. Bir α\alpha dar açısı için, pozitif yönlü θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısının bitim kenarı birim çemberi PP noktasında, y=1y = 1 doğrusunu ise KK noktasında kesmektedir. Buna göre, KK noktasının apsisi ile PP noktasının apsisinin farkı (xK−xPx_K - x_P) ifadesinin α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alphaCevap
  2. B
    −cos⁡α−cot⁡α-\cos\alpha - \cot\alpha
  3. C
    cos⁡α+cot⁡α\cos\alpha + \cot\alpha
  4. D
    cot⁡α−cos⁡α\cot\alpha - \cos\alpha
  5. E
    sin⁡α−tan⁡α\sin\alpha - \tan\alpha

Cevap

cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
Doğru cevap cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha ifadesidir. İkinci bölgedeki θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı için birim çember üzerindeki PP noktasının apsisi −cos⁡α-\cos\alpha ve y=1y = 1 (kotanjant) doğrusu üzerindeki KK noktasının apsisi −cot⁡α-\cot\alpha olur. Bu iki apsis değerinin farkı (xK−xPx_K - x_P) hesaplandığında (−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡α(-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve P noktasının apsisini bulma
xP=−cos⁡αx_P = -\cos\alpha
θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı ikinci bölgededir. Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan xP=cos⁡(π−α)=−cos⁡αx_P = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha olur.
2
K noktasının apsisini bulma
xK=−cot⁡αx_K = -\cot\alpha
y=1y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir. θ\theta açısının bitim kenarının bu ekseni kestiği KK noktasının koordinatları (cot⁡θ,1)(\cot\theta, 1) biçimindedir. Dolayısıyla xK=cot⁡(π−α)=−cot⁡αx_K = \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha olur.
3
Apsis farkını hesaplama
cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
İstenen fark xK−xP=(−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡αx_K - x_P = (-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları, kotanjant ekseni ile kesişim noktalarının bulunması ve ikinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru