Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan 240∘240^\circ lik yönlü açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)Cevap
  2. B
    (−32,−12)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)
  3. C
    (12,−32)\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
  4. D
    (−12,32)\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
  5. E
    (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olarak bulunur.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak tanımlanır. 240∘240^\circ lik açı üçüncü bölgede yer alır. Bu bölgede hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir. cos⁡(240∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olduğundan, aranan nokta (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının hangi bölgede olduğunu belirleyin.
240∘240^\circ lik açı, 180∘180^\circ ile 270∘270^\circ arasında olduğundan koordinat sisteminin üçüncü bölgesindedir.
Trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için açının bulunduğu bölgeyi bilmemiz gerekir.
2
Birim çember üzerindeki noktanın genel koordinat formülünü uygulayın.
Birim çember üzerinde bitim kenarı θ\theta olan açının kesim noktası (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) koordinatlarına sahiptir. Burada θ=240∘\theta = 240^\circ olduğundan koordinatlar (cos⁡(240∘),sin⁡(240∘))(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) olur.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
3
Açının kosinüs ve sinüs değerlerini hesaplayın.
Üçüncü bölgede kosinüs ve sinüs negatiftir. İndirgeme formülleri kullanılarak; cos⁡(240∘)=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=sin⁡(180∘+60∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Açıyı birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade ederek değerleri hesaplamak kolaylık sağlar.
4
Elde edilen değerleri koordinat ikilisi olarak yazın.
Noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) şeklinde elde edilir.
Apsis ve ordinat değerleri bir araya getirilerek nihai nokta oluşturulur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının kosinüs ve sinüs fonksiyonları cinsinden tanımlanması ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru