Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktası ikinci bölgededir. PP noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında kesmektedir. Birim çembere C(0,1)C(0,1) noktasında teğet olan y=1y = 1 doğrusu ise PP noktasındaki teğet doğrusu ile DD noktasında kesişmektedir. Buna göre, OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. csc⁡θ−1\csc\theta - 1Cevap
  2. B
    1−csc⁡θ1 - \csc\theta
  3. C
    sec⁡θ−1\sec\theta - 1
  4. D
    1−sec⁡θ1 - \sec\theta
  5. E
    sin⁡θ−1\sin\theta - 1

Cevap

Doğru cevap cosec(theta) - 1 ifadesidir.
Doğru cevap, OCD üçgeninin alanının OAP üçgeninin alanına oranının cosec(theta) - 1 olduğunu gösteren ifadedir. İkinci bölgedeki işaretler dikkate alınarak yapılan alan hesaplamaları bu sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Teğet doğrusunun denklemi (cos⁡θ)x+(sin⁡θ)y=1(\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 şeklindedir.
Birim çember üzerindeki bir (x0,y0)(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülü ile belirlenir.
2
AA ve DD noktalarının koordinatlarını bulalım.
AA noktası teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği yerdir (y=0y=0). Buradan xA=1cos⁡θ=sec⁡θx_A = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta olup A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) olur. DD noktası ise teğet doğrusu ile y=1y=1 doğrusunun kesişim noktasıdır. Denklemde y=1y=1 yazılırsa (cos⁡θ)x+sin⁡θ=1  ⟹  xD=1−sin⁡θcos⁡θ(\cos\theta)x + \sin\theta = 1 \implies x_D = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} olup D(1−sin⁡θcos⁡θ,1)D\left(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, 1\right) elde edilir.
Eksenleri kestikleri veya kesiştikleri noktaları bulmak için denklem sistemleri çözülür.
3
θ\theta açısı ikinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) olduğundan trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyip OAOA ve CDCD uzunluklarını pozitif olarak ifade edelim.
İkinci bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan: OA=∣sec⁡θ∣=−sec⁡θ=−1cos⁡θOA = |\sec\theta| = -\sec\theta = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. CDCD uzunluğu için C(0,1)C(0,1) ve D(xD,1)D(x_D, 1) noktaları arasındaki mesafe ∣xD∣=∣1−sin⁡θcos⁡θ∣|x_D| = \left|\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right| şeklindedir. İkinci bölgede sin⁡θ<1  ⟹  1−sin⁡θ>0\sin\theta < 1 \implies 1-\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} birim olarak bulunur.
Geometrik uzunluk değerleri her zaman pozitif olmalıdır. Bölgelere göre işaret tespiti bu yüzden önemlidir.
4
OAPOAP ve OCDOCD üçgenlerinin alanlarını hesaplayalım.
OAPOAP üçgeninin yüksekliği PP noktasının yy koordinatı olan sin⁡θ\sin\theta (pozitif) ve tabanı OA=−1cos⁡θOA = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OAP)=12⋅OA⋅yP=−sin⁡θ2cos⁡θ\text{Alan}(OAP) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = -\frac{\sin\theta}{2\cos\theta} olur. OCDOCD dik üçgeninin dik kenarları ise OC=1OC = 1 ve CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OCD)=12⋅OC⋅CD=sin⁡θ−12cos⁡θ\text{Alan}(OCD) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot CD = \frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta} elde edilir.
Üçgenin alan formülü Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} kullanılarak alanlar ifade edilir.
5
OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranını bulup sadeleştirelim.
Oran=Alan(OCD)Alan(OAP)=sin⁡θ−12cos⁡θ−sin⁡θ2cos⁡θ=sin⁡θ−1−sin⁡θ=1−sin⁡θsin⁡θ=1sin⁡θ−1=csc⁡θ−1\text{Oran} = \frac{\text{Alan}(OCD)}{\text{Alan}(OAP)} = \frac{\frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta}}{-\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}} = \frac{\sin\theta-1}{-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} - 1 = \csc\theta - 1 elde edilir.
İki alan ifadesi birbirine oranlanarak sadeleştirme işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların geometrik temsili ve bölgelere göre işaret analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru