Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Kartezyen koordinat sisteminde, birinci bölgedeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 çemberine çizilen teğet doğrusu, koordinat eksenlerini AA ve BB noktalarında kesmektedir. PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH noktası olup ABAB doğru parçasının orta noktası CC olarak belirleniyor.

OHCOHC üçgeninin alanı 0,1250,125 birimkare olduğuna göre, sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri kaçtır?

Cevap: 0.8

Cevap

İstenen sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri 0,80,8 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis ilişkileri kullanılarak CC orta noktasının koordinatları belirlenir. Tabanı OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve yüksekliği yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} olan OHCOHC üçgeninin alanı cot⁡θ4\frac{\cot\theta}{4} olarak elde edilir. Alanın 0,1250,125 birimkareye eşitlenmesiyle cot⁡θ=0,5\cot\theta = 0,5 bulunur. Buradan sin⁡(2θ)=0,8\sin(2\theta) = 0,8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin yazılmas��
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği AA ve BB noktalarının koordinatlarının belirlenmesi
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Teğet denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 verilerek eksen kesim noktaları bulunur.
3
ABAB doğru parçasının orta noktası olan CC'nin koordinatlarının bulunması
C(sec⁡θ2,csc⁡θ2)C\left(\frac{\sec\theta}{2}, \frac{\csc\theta}{2}\right)
AA ve BB noktalarının aritmetik ortalaması alınarak orta nokta koordinatları bulunur.
4
PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktasının koordinatlarının belirlenmesi
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasının ordinatının sıfırlanmasıyla xx-eksenindeki izdüşüm noktası bulunur.
5
OHCOHC üçgeninin alanının θ\theta cinsinden formüle edilmesi
Alan(OHC)=cot⁡θ4\text{Alan}(OHC) = \frac{\cot\theta}{4}
Taban OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve bu tabana ait yükseklik yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} alınarak Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} formülü uygulanır.
6
Verilen alan değeri kullanılarak cot⁡θ\cot\theta değerinin hesaplanması
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2}
cot⁡θ4=0,125=18\frac{\cot\theta}{4} = 0,125 = \frac{1}{8} eşitliği çözülerek cot⁡θ\cot\theta değerine ulaşılır.
7
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2} bilgisinden yararlanılarak sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerinin bulunması
0,80,8
tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olup, yarım açı formülü sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} kullanılarak değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim çemberde teğet doğrusu özellikleri, koordinat eksenlerinin kesim noktaları, orta nokta koordinatları ve trigonometrik alan uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru