Examkin

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

28 soru

Tüm türler28Çoktan seçmeli13Sayısal15
Soru 1Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerindeki bir PP noktası, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan θ\theta yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi

olmak üzere, PP noktasından xx eksenine indirilen dikmenin ayağı HH noktasıdır.

Buna göre, OHOH uzunluğunun θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −cos⁡θ-\cos\theta

Cevap

−cos⁡θ-\cos\theta ifadesi doğru cevaptır.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) şeklindedir. Bu noktanın xx ekseni üzerindeki dik izdüşümü H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0) olup, orijine olan uzaklığı ∣cos⁡θ∣|\cos\theta| değerine eşittir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan, bu uzunluk dışarıya önüne eksi alarak −cos⁡θ-\cos\theta olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının birim çember üzerindeki koordinatlarını tanımlayın.
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)
Birim çember ��zerindeki herhangi bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen açının kosinüs ve sinüs değerlerine eşittir.
2
H noktasının koordinatlarını belirleyin.
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
H noktası, P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümüdür.
3
OH segmentinin uzunluğunu mutlak değer cinsinden yazın.
OH=∣cos⁡θ∣OH = |\cos\theta|
Bir noktanın orijine olan uzaklığı koordinatının mutlak değerine eşittir ve uzunluk her zaman pozitif olmalıdır.
4
Açının bulunduğu bölgeye göre kosinüs fonksiyonunun işaretini inceleyin.
İkinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olur.
İkinci bölgede birim çember üzerindeki noktaların apsisleri negatiftir.
5
Mutlak değer ifadesini dışarı çıkararak uzunluğu elde edin.
OH=∣cos⁡θ∣=−cos⁡θOH = |\cos\theta| = -\cos\theta
İçerisi negatif olan bir mutlak değer ifadesi, dışarıya önüne eksi işareti alarak çıkar.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların koordinat karşılıkları ve bölgelere göre işaretleri
Soru 2Soru →

Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan 240∘240^\circ lik yönlü açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olarak bulunur.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak tanımlanır. 240∘240^\circ lik açı üçüncü bölgede yer alır. Bu bölgede hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir. cos⁡(240∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olduğundan, aranan nokta (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının hangi bölgede olduğunu belirleyin.
240∘240^\circ lik açı, 180∘180^\circ ile 270∘270^\circ arasında olduğundan koordinat sisteminin üçüncü bölgesindedir.
Trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için açının bulunduğu bölgeyi bilmemiz gerekir.
2
Birim çember üzerindeki noktanın genel koordinat formülünü uygulayın.
Birim çember üzerinde bitim kenarı θ\theta olan açının kesim noktası (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) koordinatlarına sahiptir. Burada θ=240∘\theta = 240^\circ olduğundan koordinatlar (cos⁡(240∘),sin⁡(240∘))(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) olur.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
3
Açının kosinüs ve sinüs değerlerini hesaplayın.
Üçüncü bölgede kosinüs ve sinüs negatiftir. İndirgeme formülleri kullanılarak; cos⁡(240∘)=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=sin⁡(180∘+60∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Açıyı birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade ederek değerleri hesaplamak kolaylık sağlar.
4
Elde edilen değerleri koordinat ikilisi olarak yazın.
Noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) şeklinde elde edilir.
Apsis ve ordinat değerleri bir araya getirilerek nihai nokta oluşturulur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının kosinüs ve sinüs fonksiyonları cinsinden tanımlanması ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktası ikinci bölgededir. PP noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında kesmektedir. Birim çembere C(0,1)C(0,1) noktasında teğet olan y=1y = 1 doğrusu ise PP noktasındaki teğet doğrusu ile DD noktasında kesişmektedir. Buna göre, OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: csc⁡θ−1\csc\theta - 1

Cevap

Doğru cevap cosec(theta) - 1 ifadesidir.
Doğru cevap, OCD üçgeninin alanının OAP üçgeninin alanına oranının cosec(theta) - 1 olduğunu gösteren ifadedir. İkinci bölgedeki işaretler dikkate alınarak yapılan alan hesaplamaları bu sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Teğet doğrusunun denklemi (cos⁡θ)x+(sin⁡θ)y=1(\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 şeklindedir.
Birim çember üzerindeki bir (x0,y0)(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülü ile belirlenir.
2
AA ve DD noktalarının koordinatlarını bulalım.
AA noktası teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği yerdir (y=0y=0). Buradan xA=1cos⁡θ=sec⁡θx_A = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta olup A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) olur. DD noktası ise teğet doğrusu ile y=1y=1 doğrusunun kesişim noktasıdır. Denklemde y=1y=1 yazılırsa (cos⁡θ)x+sin⁡θ=1  ⟹  xD=1−sin⁡θcos⁡θ(\cos\theta)x + \sin\theta = 1 \implies x_D = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} olup D(1−sin⁡θcos⁡θ,1)D\left(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, 1\right) elde edilir.
Eksenleri kestikleri veya kesiştikleri noktaları bulmak için denklem sistemleri çözülür.
3
θ\theta açısı ikinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) olduğundan trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyip OAOA ve CDCD uzunluklarını pozitif olarak ifade edelim.
İkinci bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan: OA=∣sec⁡θ∣=−sec⁡θ=−1cos⁡θOA = |\sec\theta| = -\sec\theta = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. CDCD uzunluğu için C(0,1)C(0,1) ve D(xD,1)D(x_D, 1) noktaları arasındaki mesafe ∣xD∣=∣1−sin⁡θcos⁡θ∣|x_D| = \left|\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right| şeklindedir. İkinci bölgede sin⁡θ<1  ⟹  1−sin⁡θ>0\sin\theta < 1 \implies 1-\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} birim olarak bulunur.
Geometrik uzunluk değerleri her zaman pozitif olmalıdır. Bölgelere göre işaret tespiti bu yüzden önemlidir.
4
OAPOAP ve OCDOCD üçgenlerinin alanlarını hesaplayalım.
OAPOAP üçgeninin yüksekliği PP noktasının yy koordinatı olan sin⁡θ\sin\theta (pozitif) ve tabanı OA=−1cos⁡θOA = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OAP)=12⋅OA⋅yP=−sin⁡θ2cos⁡θ\text{Alan}(OAP) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = -\frac{\sin\theta}{2\cos\theta} olur. OCDOCD dik üçgeninin dik kenarları ise OC=1OC = 1 ve CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OCD)=12⋅OC⋅CD=sin⁡θ−12cos⁡θ\text{Alan}(OCD) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot CD = \frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta} elde edilir.
Üçgenin alan formülü Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} kullanılarak alanlar ifade edilir.
5
OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranını bulup sadeleştirelim.
Oran=Alan(OCD)Alan(OAP)=sin⁡θ−12cos⁡θ−sin⁡θ2cos⁡θ=sin⁡θ−1−sin⁡θ=1−sin⁡θsin⁡θ=1sin⁡θ−1=csc⁡θ−1\text{Oran} = \frac{\text{Alan}(OCD)}{\text{Alan}(OAP)} = \frac{\frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta}}{-\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}} = \frac{\sin\theta-1}{-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} - 1 = \csc\theta - 1 elde edilir.
İki alan ifadesi birbirine oranlanarak sadeleştirme işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların geometrik temsili ve bölgelere göre işaret analizi.
Soru 4Soru →

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde yer alan bir noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve dördüncü bölgede yer alan noktanın ordinatı −08-0{}8 olarak bulunur.
Birim çemberin x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 bağıntısından ve noktanın dördüncü bölgede bulunmasından dolayı ordinat değeri negatif olmalıdır. Apsis 060{}6 iken (06)2+y2=1(0{}6)^2 + y^2 = 1 eşitliğinden y2=064y^2 = 0{}64 ve dördüncü bölgede y<0y < 0 olduğundan y=−08y = -0{}8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çemberin temel denklemini yazma
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
2
Verilen apsis değerini yerine yazarak ordinatın mutlak değerini bulma
y2=064  ⟹  ∣y∣=08y^2 = 0{}64 \implies |y| = 0{}8
x=06x = 0{}6 değeri denklemde yerine yazılır: (06)2+y2=1  ⟹  036+y2=1  ⟹  y2=064(0{}6)^2 + y^2 = 1 \implies 0{}36 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0{}64 olur.
3
Bölge bilgisini kullanarak ordinatın işaretini belirleme ve sonucu bulma
y=−08y = -0{}8
Koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde apsis (xx) pozitif, ordinat (yy) negatiftir. Bu nedenle yy değeri negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlar ve bölgelere göre koordinat işaretleri değişir.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, birinci bölgedeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 çemberine çizilen teğet doğrusu, koordinat eksenlerini AA ve BB noktalarında kesmektedir. PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH noktası olup ABAB doğru parçasının orta noktası CC olarak belirleniyor.

OHCOHC üçgeninin alanı 0,1250,125 birimkare olduğuna göre, sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İstenen sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri 0,80,8 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis ilişkileri kullanılarak CC orta noktasının koordinatları belirlenir. Tabanı OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve yüksekliği yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} olan OHCOHC üçgeninin alanı cot⁡θ4\frac{\cot\theta}{4} olarak elde edilir. Alanın 0,1250,125 birimkareye eşitlenmesiyle cot⁡θ=0,5\cot\theta = 0,5 bulunur. Buradan sin⁡(2θ)=0,8\sin(2\theta) = 0,8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin yazılmas��
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği AA ve BB noktalarının koordinatlarının belirlenmesi
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Teğet denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 verilerek eksen kesim noktaları bulunur.
3
ABAB doğru parçasının orta noktası olan CC'nin koordinatlarının bulunması
C(sec⁡θ2,csc⁡θ2)C\left(\frac{\sec\theta}{2}, \frac{\csc\theta}{2}\right)
AA ve BB noktalarının aritmetik ortalaması alınarak orta nokta koordinatları bulunur.
4
PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktasının koordinatlarının belirlenmesi
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasının ordinatının sıfırlanmasıyla xx-eksenindeki izdüşüm noktası bulunur.
5
OHCOHC üçgeninin alanının θ\theta cinsinden formüle edilmesi
Alan(OHC)=cot⁡θ4\text{Alan}(OHC) = \frac{\cot\theta}{4}
Taban OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve bu tabana ait yükseklik yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} alınarak Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} formülü uygulanır.
6
Verilen alan değeri kullanılarak cot⁡θ\cot\theta değerinin hesaplanması
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2}
cot⁡θ4=0,125=18\frac{\cot\theta}{4} = 0,125 = \frac{1}{8} eşitliği çözülerek cot⁡θ\cot\theta değerine ulaşılır.
7
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2} bilgisinden yararlanılarak sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerinin bulunması
0,80,8
tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olup, yarım açı formülü sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} kullanılarak değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim çemberde teğet doğrusu özellikleri, koordinat eksenlerinin kesim noktaları, orta nokta koordinatları ve trigonometrik alan uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →

Dik koordinat düzleminde, bitiş kenarı birim çemberi üçüncü bölgede yer alan K(k,−1213)K\left(k, -\frac{12}{13}\right) noktasında kesen yönlü açının kosinüs değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −513-\frac{5}{13}

Cevap

−513-\frac{5}{13}
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 kullanılarak k2+(−12/13)2=1k^2 + (-12/13)^2 = 1 eşitliğinden k2=25/169k^2 = 25/169 bulunur. Nokta üçüncü bölgede yer aldığı için apsis (xx) değeri negatif olmalıdır. Buradan k=−5/13k = -5/13 elde edilir. Yönlü açının kosinüs değeri kestiği noktanın apsis değerine eşit olduğundan cevap negatif beş bölü on üç olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki her P(x,y)P(x, y) noktası için x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinin sağlandığını belirlemek.
k2+(−1213)2=1k^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 denklemi elde edilir.
Birim çemberin genel denklemi x2+y2=1x^2 + y^2 = 1'dir ve çember üzerindeki her nokta bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Elde edilen denklemde bilinmeyen kk değerinin karesini yalnız bırakmak.
k2+144169=1⇒k2=1−144169=25169k^2 + \frac{144}{169} = 1 \Rightarrow k^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} bulunur.
kk değerinin büyüklüğünü hesaplamak için kare değerini bulmamız gerekir.
3
Noktanın bulunduğu bölgeye göre kk değerinin işaretini belirlemek.
Üçüncü bölgede apsis (xx) değeri negatif olduğundan k=−513k = -\frac{5}{13} olur.
Üçüncü bölgede hem xx hem de yy koordinatları negatiftir.
4
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisinin, bu noktayı belirleyen yönlü açının kosinüs değerine eşit olduğunu kullanmak.
Açının kosinüs değeri cos⁡θ=k=−513\cos\theta = k = -\frac{5}{13} olarak bulunur.
Birim çember üzerinde tanımlanan bir açının bitiş kenarının çemberi kestiği noktanın xx koordinatı kosinüs değerini verir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.
Soru 7Soru →

Dik koordinat düzlemindeki birim çember üzerinde, üçüncü bölgede bulunan bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere çizilen teğet doğrusu; x=−1x = -1 doğrusunu KK noktasında, y=−1y = -1 doğrusunu ise LL noktasında kesmektedir.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)

Cevap

−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
Doğru yanıt olan −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta) ifadesi, üçüncü bölgedeki sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta değerlerinin negatif işaretleri ve bu işaretlerin toplamının −1-1'den küçük olması dolayısıyla mutlak değer dışına çıkarma kurallarının eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xx0+yy0=1x x_0 + y y_0 = 1 formülü ile bulunur.
2
KK noktasının koordinatlar��nı bulma
K(−1,1+cos⁡θsin⁡θ)K\left(-1, \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)
Teğet doğrusu ile x=−1x = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=−1x = -1 yazılır.
3
LL noktasının koordinatlarını bulma
L(1+sin⁡θcos⁡θ,−1)L\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}, -1\right)
Teğet doğrusu ile y=−1y = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=−1y = -1 yazılır.
4
KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın karesini hesaplama
KL2=(1+sin⁡θ+cos⁡θ)2sin⁡2θcos⁡2θKL^2 = \frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta\cos^2\theta}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d2=(xK−xL)2+(yK−yL)2d^2 = (x_K - x_L)^2 + (y_K - y_L)^2 uygulanarak ortak payda parantezine alınır.
5
Mutlak değer dışına çıkarma ve sadeleştirme
KL=−1+sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)KL = -\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = -(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
θ\theta üçüncü bölgede olduğundan sin⁡θ<0\sin\theta < 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<−1\sin\theta + \cos\theta < -1 olur. Dolayısıyla 1+sin⁡θ+cos⁡θ<01+\sin\theta+\cos\theta < 0 ve sin⁡θcos⁡θ>0\sin\theta\cos\theta > 0 olduğu için mutlak değer dışına çıkarırken işaret değişimi yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenlerine paralel doğrularla kesişim noktaları ve bu noktaların trigonometrik ifadelerle bölgelere göre analizi.
Soru 8Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ve bu çembere A(1,0)A(1, 0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu verilmiştir. Başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan ve ölçüsü α\alpha radyan olan bir yönlü açının biti�� kenarının birim çemberi kestiği nokta PP, bitiş kenarını taşıyan doğrunun x=1x = 1 doğrusunu kestiği nokta ise TT noktasıdır.

α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı ile TT noktasının orijine olan uzaklığının çarpımı 33\frac{\sqrt{3}}{3} birimdir.

Buna göre, sin⁡α\sin\alpha değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

İstenen sinüs değeri -0.5'tir.
Üçüncü bölgedeki açının sinüs değeri negatif olup, uzaklıklar çarpımından elde edilen tanjant değerinin 1/kök(3) olmasını sağlayan 210 derecelik açının sinüsü -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki P noktasının ve x=1x = 1 teğet doğrusu üzerindeki T noktasının koordinatlarını belirleme.
P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) ve T(1,tan⁡α)T(1, \tan\alpha)
Uzaklıkları trigonometrik oranlar cinsinden yazabilmek için.
2
Noktaların eksenlere ve orijine olan uzaklıklarını mutlak değer dışına çıkarma.
d1=−sin⁡αd_1 = -\sin\alpha ve d2=−1cos⁡αd_2 = -\frac{1}{\cos\alpha}
Üçüncü bölgede sin⁡α<0\sin\alpha < 0 ve cos⁡α<0\cos\alpha < 0 olduğundan uzaklıkların pozitif değer alması sağlanır.
3
Uzaklıkların çarpımını eşitleyerek tan⁡α\tan\alpha değerini ve açıyı bulma.
tan⁡α=33  ⟹  α=210∘\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 210^\circ (veya 7π6\frac{7\pi}{6} radyan)
Verilen çarpım ilişkisinden tan⁡α\tan\alpha oranına ulaşmak için.
4
Belirlenen açının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(210∘)=−0.5\sin(210^\circ) = -0.5
Soruda istenen nihai trigonometrik değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki koordinatlar ile trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri arasındaki ilişki
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerinde ve ikinci bölgede bulunan bir PP noktasının ordinatı 32\frac{\sqrt{3}}{2}'dir. Buna göre, PP noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

P noktasının apsisi -0.5'tir.
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinde y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} yazıldığında x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir. Nokta ikinci bölgede olduğundan apsis değeri negatif olmalıdır, bu nedenle apsis x=−0.5x = -0.5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini kurmak
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Verilen ordinat değerini kullanarak apsisin mutlak değerini bulmak
x2=14  ⟹  ∣x∣=0.5x^2 = \frac{1}{4} \implies |x| = 0.5
y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} değeri denklemde yerine yazıldığında x2+34=1x^2 + \frac{3}{4} = 1 elde edilir.
3
Bölge bilgisini değerlendirerek apsisin işaretini belirlemek
x=−0.5x = -0.5
İkinci bölgede apsis (x-koordinatı) negatif işaretli olduğundan pozitif kök elenir ve negatif değer alınır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlaması ve koordinatların bölgelere göre işaretleri.
Soru 10Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir.

θ∈(π2,π)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere, başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan yönlü θ\theta aç��sının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta PP, y=1y = 1 doğrusunu kestiği nokta ise KK'dir.

PP noktasının yy-ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH ve birim çemberin yy-eksenini kestiği pozitif nokta A(0,1)A(0,1)'dir.

Buna göre, AHPKAHPK yamuğunun alanının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

Cevap

−cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}
İkinci bölgede cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot\theta < 0 olduğundan, yamuğun taban uzunlukları sırasıyla −cos⁡θ-\cos\theta ve −cot⁡θ-\cot\theta olur. Yükseklik ise 1−sin⁡θ1 - \sin\theta olarak bulunur. Alan formülü uygulanıp sadeleştirildiğinde alan −cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini ve fonksiyonların işaretlerini belirleme
θ∈(π2,π)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan açı ikinci bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot\theta < 0 olur.
Geometrik uzunluklar daima pozitif olmalıdır. Bu yüzden koordinat değerlerini uzunluğa çevirirken bölgeye göre işaret analizi yapılması gerekir.
2
PP ve KK noktalarının koordinatlarını bulma
PP noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)'dir. KK noktası ise terminal doğrusunun y=1y = 1 doğrusunu kestiği nokta olduğundan, yK=1y_K = 1 ve xK=cot⁡θx_K = \cot\theta olup K(cot⁡θ,1)K(\cot\theta, 1)'dir.
Yamuğun köşe koordinatlarını belirlemek, taban ve yükseklik uzunluklarını hesaplamamızı sağlar.
3
Yamuğun taban uzunluklarını ve yüksekliğini hesaplama
Yamuğun tabanları y-eksenine paralel dik izdüşümler arasındaki yatay uzaklıklardır: Üst taban AK=0−cot⁡θ=−cot⁡θAK = 0 - \cot\theta = -\cot\theta, alt taban HP=0−cos⁡θ=−cos⁡θHP = 0 - \cos\theta = -\cos\theta. Yükseklik ise y-ekseni üzerindeki dikey uzaklıktır: AH=yA−yH=1−sin⁡θAH = y_A - y_H = 1 - \sin\theta olarak bulunur.
Yamuğun alan formülü olan a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h ifadesini uygulamak için gerekli tüm geometrik uzunlukları elde etmek.
4
Yamuğun alanını hesaplama ve trigonometrik olarak sadeleştirme
Alan(AHPK)=(−cot⁡θ)+(−cos⁡θ)2⋅(1−sin⁡θ)=−cos⁡θ(1+sin⁡θ)2sin⁡θ⋅(1−sin⁡θ)=−cos⁡θ(1−sin⁡2θ)2sin⁡θ=−cos⁡3θ2sin⁡θ=−cot⁡θcos⁡2θ2\text{Alan}(AHPK) = \frac{(-\cot\theta) + (-\cos\theta)}{2} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{2\sin\theta} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 - \sin^2\theta)}{2\sin\theta} = -\frac{\cos^3\theta}{2\sin\theta} = -\frac{\cot\theta\cos^2\theta}{2}
Yamuk alan formülünü uygulayıp sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğini kullanarak en sade hali bulmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların ve teğet doğrularının kestikleri noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesi ve bölgelere göre işaret analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir P(a,b)P(a, b) noktası, başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan θ\theta yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, tan⁡θ−cot⁡θ=15\tan\theta - \cot\theta = 1{}5 eşitliği sağlandığına göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

P(a, b) noktasının koordinatları çarpımı olan a ve b değerlerinin çarpımı 0,4 olarak elde edilir.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki her P(a,b)P(a,b) noktası için a2+b2=1a^2+b^2=1 ilişkisi geçerlidir. Ayrıca bu koordinatlar a=cos⁡θa=\cos\theta ve b=sin⁡θb=\sin\theta değerlerine karşılık gelir. Verilen denklemin çözümünden elde edilen tan⁡θ=2\tan\theta = 2 değeri, koordinatlar arasında b=2ab = 2a bağıntısını kurmamızı sağlar. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan a=−1/5a = -1/\sqrt{5} ve b=−2/5b = -2/\sqrt{5} bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise 0,40,4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} özdeşliğini yerine yazarak denklemi tek bir değişken cinsinden düzenleyin.
tan⁡θ−1tan⁡θ=32\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2tan⁡θ2\tan\theta ile çarpılarak payda eşitlendiğinde 2tan⁡2θ−3tan⁡θ−2=02\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasındaki çarpmaya göre tersi olma ilişkisini kullanarak denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayırarak tan⁡θ\tan\theta değerini belirleyin.
2tan⁡2θ−3tan⁡θ−2=0  ⟹  (2tan⁡θ+1)(tan⁡θ−2)=02\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 \implies (2\tan\theta + 1)(\tan\theta - 2) = 0 denkleminin kökleri tan⁡θ=−05\tan\theta = -0{}5 ve tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olarak bulunur. θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı üçüncü bölgeyi temsil ettiğinden bu bölgede tanjant fonksiyonu pozitif değer alır. Dolayısıyla tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olmalıdır.
İkinci dereceden denklemi çözmek ve açının bulunduğu bölgeyi göz önüne alarak doğru işarete sahip kökü belirlemek.
3
Birim çember tanımını kullanarak koordinatlar arasındaki ilişkiyi kurun ve koordinatları hesaplayın.
Birim çember üzerindeki bir P(a,b)P(a, b) noktası için a=cos⁡θa = \cos\theta ve b=sin⁡θb = \sin\theta yazılabilir. Buradan tan⁡θ=ba=2  ⟹  b=2a\tan\theta = \frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a elde edilir. Birim çember denklemi olan a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde yerine yazıldığında a2+(2a)2=1  ⟹  5a2=1  ⟹  a2=15a^2 + (2a)^2 = 1 \implies 5a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5} bulunur. Üçüncü bölgede apsis değeri negatif olduğundan a=−15a = -\frac{1}{\sqrt{5}} ve buna bağlı olarak ordinat değeri b=2a=−25b = 2a = -\frac{2}{\sqrt{5}} bulunur.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının kareleri toplamının 1 olması kuralını ve bölgeye göre koordinatların işaretlerini uygulamak.
4
Bulunan aa ve bb koordinat değerlerini birbiriyle çarpın.
a⋅b=(−15)⋅(−25)=25=04a \cdot b = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} = 0{}4 bulunur.
Soruda istenen a⋅ba \cdot b çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik koordinat gösterimleri ile bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 12Soru →

Analitik düzlemin birinci bölgesinde yer alan ve köşeleri; orijin O(0,0)O(0,0) noktası, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası ve PP noktasının xx-ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktası olan bir OPHOPH dik üçgeni oluşturuluyor. Bu dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 010{}1 birim olduğuna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.2

Cevap

P noktasının koordinatları toplamı 1,2'dir.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından oluşturulan OPHOPH dik üçgeninin kenarları cos⁡θ\cos\theta, sin⁡θ\sin\theta ve 11 birimdir. Dik üçgenin iç teğet çember yarıçap formülü r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} kullanılarak 01=sin⁡θ+cos⁡θ−120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} bağıntısından koordinatlar toplamı 121{}2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P ve H noktalarının koordinatlarını trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade etme
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) ve H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
Birim çember üzerindeki her nokta, başlangıç doğrusuyla yaptığı θ\theta açısı cinsinden (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak yazılır.
2
OPH dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirleme
Dik kenarlar cos⁡θ\cos\theta ve sin⁡θ\sin\theta, hipotenüs 11
O(0,0)O(0,0) ile HH arasındaki uzaklık cos⁡θ\cos\theta, PP ile HH arasındaki uzaklık sin⁡θ\sin\theta ve PP birim çember üzerinde olduğundan OP=1OP = 1'dir.
3
İç teğet çemberin yarıçapı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurma
r=sin⁡θ+cos⁡θ−12r = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}
Bir dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
4
Verilen yarıçap değerini denklemde yerine yazarak çözme
cos⁡θ+sin⁡θ=12\cos\theta + \sin\theta = 1{}2
01=sin⁡θ+cos⁡θ−12⇒02=sin⁡θ+cos⁡θ−1⇒sin⁡θ+cos⁡θ=120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} \Rightarrow 0{}2 = \sin\theta + \cos\theta - 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1{}2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ve dik üçgen geometrisi yardımıyla analizi.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberin yarıçapı r=AlanYarıc¸evrer = \frac{\text{Alan}}{\text{Yarıçevre}} formülünden de bulunabilir. Alan A=sin⁡θcos⁡θ2A = \frac{\sin\theta \cos\theta}{2} ve yarıçevre s=sin⁡θ+cos⁡θ+12s = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{2} olup, r=sin⁡θcos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1r = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta + 1} yazılır. sin⁡θ+cos⁡θ=u\sin\theta + \cos\theta = u dönüşümüyle, sin⁡θcos⁡θ=u2−12\sin\theta \cos\theta = \frac{u^2 - 1}{2} elde edilir. Formülde yerine yazıldığında r=u2−12(u+1)=u−12r = \frac{u^2 - 1}{2(u + 1)} = \frac{u - 1}{2} sadeleşmesi elde edilir ve buradan u=12u = 1{}2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında ve yy-eksenini BB noktasında kesmektedir. PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ve θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre, AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta

Cevap

sec(theta) + csc(theta) ifadesidir.
Birim çembere P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından teğet olan doğrunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir. Doğrunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak hesaplanır. Buradan AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Merkezil birim çember üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi x⋅x0+y⋅y0=1x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = 1 formülüyle belirlenir.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği AA noktasının apsisini bulalım.
xA=sec⁡θx_A = \sec\theta
xx-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=0y = 0 yazılır. Buradan xcos⁡θ=1  ⟹  x=1cos⁡θ=sec⁡θx\cos\theta = 1 \implies x = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta elde edilir.
3
Teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği BB noktasının ordinatını bulalım.
yB=csc⁡θy_B = \csc\theta
yy-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=0x = 0 yazılır. Buradan ysin⁡θ=1  ⟹  y=1sin⁡θ=csc⁡θy\sin\theta = 1 \implies y = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
4
Bulunan apsis ve ordinat değerlerini toplayalım.
xA+yB=sec⁡θ+csc⁡θx_A + y_B = \sec\theta + \csc\theta
AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eksen kesim noktalarının koordinatlarının bulunması.
Soru 14Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere D(−1,0)D(-1,0) noktasında teğet olan x=−1x = -1 doğrusu ile C(0,−1)C(0,-1) noktasında teğet olan y=−1y = -1 doğrusu çizilmiştir. Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle saat yönünün tersine θ\theta açısı yapan bir ışın, bu iki teğet doğrusunu sırasıyla TT ve KK noktalarında kesmektedir. θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre; x=−1x = -1 doğrusu, y=−1y = -1 doğrusu ve bu ışın arasında kalan sınırlı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

Cevap

Dik kenar uzunluklarının doğru mutlak değer analiziyle hesaplanıp çarpılması sonucu elde edilen ve sadeleştirilmiş biçimi (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olan seçenektir.
Köşe koordinatları belirlenen dik üçgenin dik kenar uzunlukları doğru işaret analiziyle mutlak değer dışına çıkarılarak çarpılmış ve yarısı alınmıştır. Elde edilen cebirsel ifade sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlendiğinde, pay kısmı (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 tam kare ifadesine eşit olur ve alan (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olarak sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Işının denklemini belirleme
Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle θ\theta açısı yapan ışının denklemi y=(tan⁡θ)xy = (\tan\theta)x olarak bulunur.
Işın üzerindeki noktaların koordinatlarını teğet doğruları üzerindeki izdüşümleriyle ilişkilendirmek için denklem gereklidir.
2
Kesişim noktalarının koordinatlarını hesaplama
TT noktasının koordinatları T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve KK noktasının koordinatlar�� K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olarak elde edilir.
Sınırlı bölgeyi oluşturan üçgenin köşe noktalarını belirlemek için ışın ile teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
3
Dik kenar uzunluklarını bulma
Üçüncü bölgede θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡θ>0\tan\theta > 0 ve cot⁡θ>0\cot\theta > 0 olduğundan; dikey kenar ∣ST∣=∣−tan⁡θ−(−1)∣=∣tan⁡θ−1∣|ST| = |-\tan\theta - (-1)| = |\tan\theta - 1| ve yatay kenar ∣SK∣=∣−cot⁡θ−(−1)∣=∣cot⁡θ−1∣|SK| = |-\cot\theta - (-1)| = |\cot\theta - 1| olur.
Dik üçgenin alanını hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının mutlak değerce doğru uzunluklarını belirlemek gerekir.
4
Alan formülünü uygulama ve sadeleştirme
Alan = 12∣tan⁡θ−1∣∣cot⁡θ−1∣=tan⁡θ+cot⁡θ−22\frac{1}{2} |\tan\theta - 1| |\cot\theta - 1| = \frac{\tan\theta + \cot\theta - 2}{2} elde edilir.
Kenarlar çarpılıp ikiye bölünür. tan⁡θ+cot⁡θ≥2\tan\theta + \cot\theta \ge 2 olduğundan mutlak değer dışına pozitif olarak çıkarılır.
5
İfadeyi sinüs ve kosinüs cinsinden yazma
Alan = sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−22=sin⁡2θ+cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - 2}{2} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} bulunur.
Seçeneklerdeki trigonometrik biçime ulaşmak için payda eşitleme ve tam kare özdeşliği uygulanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki teğet doğruları ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ile geometrik uzunluk hesabı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, köşe noktaları S(−1,−1)S(-1,-1), T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olan dik üçgenin alanı, koordinat düzleminde SS köşesindeki diklik dikkate alınarak doğrudan ∣xS−xK∣⋅∣yS−yT∣/2|x_S - x_K| \cdot |y_S - y_T| / 2 formülüyle hesaplanabilir ve ardından tan⁡θ=s/c\tan\theta = s/c, cot⁡θ=c/s\cot\theta = c/s dönüşümleriyle seçeneklerdeki forma getirilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir θ\theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta A(a,b)A(a, b)'dir. θ\theta açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, a−b=1.4a - b = 1.4 ve a>∣b∣a > |b| olduğuna göre, bb değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 bağıntısını sağlar. Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 eşitliğinden yararlanarak elde edilen b2+1.4b+0.48=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir. a>∣b∣a > |b| koşulu yalnızca b=−0.6b = -0.6 ve a=0.8a = 0.8 için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 ve a−b=1.4a - b = 1.4 denklem sistemi elde edilir.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır.
2
aa değişkenini bb cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak bb değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.
b2+1.4b+0.48=0  ⟹  (b+0.6)(b+0.8)=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0 denkleminden b=−0.6b = -0.6 veya b=−0.8b = -0.8 bulunur.
Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.
3
Dördüncü bölge koşulu ile a>∣b∣a > |b| eşitsizliğini kontrol ederek doğru bb değerini seçme.
b=−0.6b = -0.6 için a=0.8a = 0.8 olur ve 0.8>0.60.8 > 0.6 şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.
Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Anahtar Kavram

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 denkleminin her iki tarafının karesi alınarak (a−b)2=a2−2ab+b2=1.96(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96 yazılabilir. a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 olduğu bilindiğinden 1−2ab=1.96  ⟹  2ab=−0.96  ⟹  ab=−0.481 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48 elde edilir. Toplamları a+(−b)=1.4a + (-b) = 1.4 ve çarpımları a(−b)=0.48a(-b) = 0.48 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.60.6'dır. a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan aa ve −b-b pozitif sayılardır. a>∣b∣  ⟹  a>−ba > |b| \implies a > -b olduğu için a=0.8a = 0.8 ve −b=0.6  ⟹  b=−0.6-b = 0.6 \implies b = -0.6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere A(1,0)A(1,0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu çizilmiştir. Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir PP noktası için [OP][OP] yarıçap doğrusunun pozitif xx-ekseni ile yaptığı yönlü açının ölçüsü θ\theta'dır.

PP noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, x=1x = 1 doğrusunu K(1,−2)K(1, -2) noktasında kesmektedir.

Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın ordinatı -0.8 değerine eşittir.
Teğet doğrusunun denklemi kurulup verilen kesişim noktası yerine yazıldıktan sonra elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, noktanın üçüncü bölgede yer alması nedeniyle ordinat değeri negatif olan -0.8 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 doğrusu elde edilir.
Birim çember üzerindeki herhangi bir (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir.
2
K(1, -2) noktasını doğru denkleminde yerine yazma
cos⁡θ−2sin⁡θ=1\cos\theta - 2\sin\theta = 1 bağıntısı elde edilir.
Teğet doğrusu K(1,−2)K(1, -2) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Trigonometrik özdeşliği kullanarak tek bilinmeyenli denklem elde etme
5sin⁡2θ+4sin⁡θ=05\sin^2\theta + 4\sin\theta = 0 denklemi elde edilir.
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 özdeşliğinde cos⁡θ=1+2sin⁡θ\cos\theta = 1 + 2\sin\theta yazılarak ortak çözüm yapılır.
4
Bölge şartına göre ordinat değerini belirleme
sin⁡θ=−0.8\sin\theta = -0.8 olarak bulunur.
Denklemin kökleri 0 ve -0.8'dir. Nokta üçüncü bölgede yer aldığından koordinatları negatif olmalıdır, bu yüzden sıfır değeri elenir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları ve teğet doğrusunun analitik denklemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çembere ikinci bölgedeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini A(−1.25,0)A(-1.25, 0) noktasında kesmektedir. Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

P noktasının ordinatı 0.6 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemi yardımıyla PP noktasının apsis değeri cos⁡θ=−0.8\cos\theta = -0.8 olarak bulunur. PP noktası ikinci bölgede olduğundan ordinat değeri olan sin⁡θ\sin\theta pozitif olmalıdır. Buradan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini birim çember üzerindeki nokta cinsinden ifade etmek.
Teğet doğrusu x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θ=1x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = 1 olarak kurulur.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğetin denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği A noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazmak.
−1.25⋅cos⁡θ=1  ⟹  cos⁡θ=−0.8-1.25 \cdot \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = -0.8 elde edilir.
Verilen A noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak cos⁡θ\cos\theta değerini bulmak için.
3
Trigonometrik özdeşlik ve bölge işareti yard��mıyla sinüs değerini hesaplamak.
sin⁡θ=0.6\sin\theta = 0.6 bulunur.
İkinci bölgede yer alan P noktasının ordinatı (sin⁡θ\sin\theta) pozitif olduğundan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 hesabını yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin özellikleri ve trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri.

Alternatif Yöntem

OPA dik üçgeni oluşturulur. Burada OP=1OP = 1 birim (yarıçap) ve OA=1.25OA = 1.25 birimdir. Pisagor teoreminden teğet uzunluğu AP=0.75AP = 0.75 birim bulunur. Öklid bağıntısı veya alan formülünden PP noktasının x-eksenine olan uzaklığı (yüksekliği) h=1⋅0.751.25=0.6h = \frac{1 \cdot 0.75}{1.25} = 0.6 birim olarak hesaplanır. İkinci bölgede ordinat pozitif olduğundan cevap 0.6'dır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO merkezli birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir. Bir α\alpha dar açısı için, pozitif yönlü θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısının bitim kenarı birim çemberi PP noktasında, y=1y = 1 doğrusunu ise KK noktasında kesmektedir. Buna göre, KK noktasının apsisi ile PP noktasının apsisinin farkı (xK−xPx_K - x_P) ifadesinin α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha

Cevap

cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
Doğru cevap cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha ifadesidir. İkinci bölgedeki θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı için birim çember üzerindeki PP noktasının apsisi −cos⁡α-\cos\alpha ve y=1y = 1 (kotanjant) doğrusu üzerindeki KK noktasının apsisi −cot⁡α-\cot\alpha olur. Bu iki apsis değerinin farkı (xK−xPx_K - x_P) hesaplandığında (−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡α(-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve P noktasının apsisini bulma
xP=−cos⁡αx_P = -\cos\alpha
θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı ikinci bölgededir. Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan xP=cos⁡(π−α)=−cos⁡αx_P = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha olur.
2
K noktasının apsisini bulma
xK=−cot⁡αx_K = -\cot\alpha
y=1y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir. θ\theta açısının bitim kenarının bu ekseni kestiği KK noktasının koordinatları (cot⁡θ,1)(\cot\theta, 1) biçimindedir. Dolayısıyla xK=cot⁡(π−α)=−cot⁡αx_K = \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha olur.
3
Apsis farkını hesaplama
cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
İstenen fark xK−xP=(−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡αx_K - x_P = (-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları, kotanjant ekseni ile kesişim noktalarının bulunması ve ikinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Soru 19Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, PP noktasından xx-eksenine inilen dikmenin ayağı AA, yy-eksenine inilen dikmenin ayağı BB noktasıdır. Buna göre, OAPBOAPB dikdörtgeninin çevresinin θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta)

Cevap

Dikdörtgenin çevresi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Üçüncü bölgede bulunan PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)'dır. Bu bölgede kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının değerleri negatif olduğundan, OAPBOAPB dikdörtgeninin kenar uzunlukları ∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta olarak belirlenir. Çevre formülü olan 2(∣OA∣+∣OB∣)2(|OA| + |OB|) uygulandığında doğru çevre ifadesi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasının koordinatlarını belirleme.
PP noktasının koordinatları P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) olur.
Birim çember üzerindeki her noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını mutlak değerce ifade etme.
∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta birimdir.
θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığı için bu bölgede hem sin⁡θ\sin\theta hem de cos⁡θ\cos\theta negatiftir. Uzunluk negatif olamayacağı için koordinatların önüne eksi işareti konularak pozitif değerler elde edilir.
3
Dikdörtgenin çevresini hesaplama.
Çevre =2(∣OA∣+∣OB∣)=2(−cos⁡θ−sin⁡θ)=−2(sin⁡θ+cos⁡θ)= 2(|OA| + |OB|) = 2(-\cos\theta - \sin\theta) = -2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Dikdörtgenin çevresi, komşu iki kenar uzunluğunun toplamının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik ifadeleri ve bölgelere göre işaret değişimi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir P(a,b)P(a, b) noktası koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. PP noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, xx-eksenine olan uzaklığının 33 katı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.3

Cevap

İkinci bölgedeki noktanın eksenlere olan uzaklıkları oranından elde edilen koordinat ilişkisi ve birim çember denklemi kullanılarak koordinatların çarpımı -0.3 olarak bulunur.
P(a, b) noktası ikinci bölgede olduğundan a < 0 ve b > 0'dır. Y-eksenine olan uzaklık |a| = -a ve x-eksenine olan uzaklık |b| = b olup aralarındaki ilişki -a = 3b şeklindedir. Birim çember denklemi olan a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde a yerine -3b yazıldığında 10b^2 = 1 ve b^2 = 0.1 bulunur. Buradan a.b = -3b^2 = -0.3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgede yer aldığı için apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
2
Eksenlere olan uzaklık ilişkisini kurma
a=−3ba = -3b
Y-eksenine uzaklık ∣a∣|a|, x-eksenine uzaklık ∣b∣|b| olup ∣a∣=3∣b∣|a| = 3|b| eşitliğinden −a=3b-a = 3b elde edilir.
3
Birim çember denklemini kullanarak değişkenlerin değerini bulma
b2=0.1b^2 = 0.1
Nokta birim çember üzerinde olduğundan a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği sağlanmalıdır.
4
Koordinatlar çarpımını hesaplama
a⋅b=−0.3a \cdot b = -0.3
a⋅b=−3b2a \cdot b = -3b^2 ifadesinde b2=0.1b^2 = 0.1 yazılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve eksenlere olan uzaklıkları
Sayfa 1 / 2Sonraki
Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin