Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Analitik düzlemin birinci bölgesinde yer alan ve köşeleri; orijin O(0,0)O(0,0) noktası, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası ve PP noktasının xx-ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktası olan bir OPHOPH dik üçgeni oluşturuluyor. Bu dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 010{}1 birim olduğuna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevap: 1.2

Cevap

P noktasının koordinatları toplamı 1,2'dir.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından oluşturulan OPHOPH dik üçgeninin kenarları cos⁡θ\cos\theta, sin⁡θ\sin\theta ve 11 birimdir. Dik üçgenin iç teğet çember yarıçap formülü r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} kullanılarak 01=sin⁡θ+cos⁡θ−120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} bağıntısından koordinatlar toplamı 121{}2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P ve H noktalarının koordinatlarını trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade etme
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) ve H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
Birim çember üzerindeki her nokta, başlangıç doğrusuyla yaptığı θ\theta açısı cinsinden (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak yazılır.
2
OPH dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirleme
Dik kenarlar cos⁡θ\cos\theta ve sin⁡θ\sin\theta, hipotenüs 11
O(0,0)O(0,0) ile HH arasındaki uzaklık cos⁡θ\cos\theta, PP ile HH arasındaki uzaklık sin⁡θ\sin\theta ve PP birim çember üzerinde olduğundan OP=1OP = 1'dir.
3
İç teğet çemberin yarıçapı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurma
r=sin⁡θ+cos⁡θ−12r = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}
Bir dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
4
Verilen yarıçap değerini denklemde yerine yazarak çözme
cos⁡θ+sin⁡θ=12\cos\theta + \sin\theta = 1{}2
01=sin⁡θ+cos⁡θ−12⇒02=sin⁡θ+cos⁡θ−1⇒sin⁡θ+cos⁡θ=120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} \Rightarrow 0{}2 = \sin\theta + \cos\theta - 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1{}2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ve dik üçgen geometrisi yardımıyla analizi.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberin yarıçapı r=AlanYarıc¸evrer = \frac{\text{Alan}}{\text{Yarıçevre}} formülünden de bulunabilir. Alan A=sin⁡θcos⁡θ2A = \frac{\sin\theta \cos\theta}{2} ve yarıçevre s=sin⁡θ+cos⁡θ+12s = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{2} olup, r=sin⁡θcos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1r = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta + 1} yazılır. sin⁡θ+cos⁡θ=u\sin\theta + \cos\theta = u dönüşümüyle, sin⁡θcos⁡θ=u2−12\sin\theta \cos\theta = \frac{u^2 - 1}{2} elde edilir. Formülde yerine yazıldığında r=u2−12(u+1)=u−12r = \frac{u^2 - 1}{2(u + 1)} = \frac{u - 1}{2} sadeleşmesi elde edilir ve buradan u=12u = 1{}2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru