Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu olan ∣f(x)∣|f(x)|, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü olan her xx noktasında kesinlikle türevsizdir.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır. Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır olduğu bir noktada türevlenebilir olması için bu noktadaki türevinin sıfır olması yeterlidir.
Verilen ifadenin genel olarak doğru olmamasının sebebi, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin köklerinde fonksiyonun türevinin sıfır olması durumunda mutlak değer fonksiyonunun da o noktada türevlenebilir olmasıdır. Bu duruma en belirgin örnek f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirlik kuralını hatırlayalım.
Türevlenebilir bir f(x)f(x) fonksiyonu için, f(x0)=0f(x_0) = 0 ise ∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki türevlenebilirliği f′(x0)f'(x_0) değerine bağlıdır.
Kök noktasında fonksiyonun işaret değiştirmesi durumunda türevin varlığını incelemek için.
2
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ve f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 durumlarını ayrı ayrı analiz edelim.
Eğer f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 ise, x0x_0 noktasında sağ ve sol türevler farklı işaretli olacağından (biri f′(x0)f'(x_0), diğeri −f′(x0)-f'(x_0)) türev yoktur. Ancak f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ise, sağ ve sol türevlerin her ikisi de 00 olacağından fonksiyon x0x_0 noktasında türevlenebilir olur.
Türev tanımından sağ ve sol limitlerin eşitliğini kontrol etmek için.
3
İddiayı çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) verelim.
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunu ele alalım. f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü x=0x = 0 noktasıdır. ∣f(x)∣=∣x2∣=x2|f(x)| = |x^2| = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki türevi lim⁡h→0h2−0h=0\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0 olup türevlenebilirdir.
İfadenin 'kesinlikle türevsizdir' genellemesinin yanlış olduğunu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin köklerindeki türevlenebilirliği
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru