Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonu için g(x)=f(x)⋅∣f(x)∣g(x) = f(x) \cdot |f(x)| şeklinde tanımlanan gg fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde her noktada türevlenebilir olduğu iddiası doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen iddia doğrudur.
Verilen iddia doğrudur çünkü f(x)f(x) fonksiyonunun türevlenebilir olması, g(x)=f(x)∣f(x)∣g(x) = f(x)|f(x)| fonksiyonunun f(x0)=0f(x_0)=0 olan kritik noktalarda da türevinin limit tanımıyla incelendiğinde türevlenebilir olduğunu ve bu türevin değerinin sıfır olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu durumları inceleyin.
f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 olan bir x0x_0 noktası için ff sürekli olduğundan, bu noktanın komşuluğunda f(x)f(x) işaret değiştirmez. Eğer f(x)>0f(x) > 0 ise komşulukta g(x)=f(x)2g(x) = f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)'tir. Eğer f(x)<0f(x) < 0 ise komşulukta g(x)=−f(x)2g(x) = -f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=−2f(x)f′(x)g'(x) = -2f(x)f'(x)'tir. Her iki durumda da türev mevcuttur.
Sıfırdan farklı noktalarda mutlak değerin dışarıya nasıl çıkacağı belirlenerek türevlenebilirlik doğrudan gösterilir.
2
Fonksiyonun sıfır olduğu durumları türevin tanımı yardımıyla inceleyin.
f(x0)=0f(x_0) = 0 olan bir x0x_0 noktası için g(x0)=0g(x_0) = 0 olur. Türevin tanımından: g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0f(x)∣f(x)∣−0x−x0=lim⁡x→x0(f(x)−f(x0)x−x0⋅∣f(x)∣)g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)|f(x)| - 0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot |f(x)| \right) yazılır.
Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda doğrudan limit tanımını kullanmak en güvenilir yöntemdir.
3
Limit ifadesinin sonucunu hesaplayın.
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) (türevli olduğu için mevcuttur) ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣=0\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| = 0 (sürekli olduğu için) olduğundan, bu iki limitin çarpımı g′(x0)=f′(x0)⋅0=0g'(x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0 olarak bulunur. Dolayısıyla g′(x0)g'(x_0) türevi mevcuttur ve sıfıra eşittir.
Çarpım limit kuralı uygulanarak limitin varlığı ve değeri gösterilir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinde mutlak değerli ifadelerin kritik noktalardaki türevlenebilirliğinin türev tanımıyla incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru