Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1 \\ 4x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevi $f'(1)$ kaçtır?

Fonksiyonun bu noktada sürekli olmamasından dolayı türevi yoktur.

Türevlenebilmenin ilk şartı sürekliliktir. Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki sol limiti 3, sağ limiti ve değeri ise 5'tir. Bu değerler farklı olduğu için fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli değildir. Dolayısıyla bu noktada türevlenebilmesi mümkün değildir ve türevi yoktur.

x = 1

noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değerini bularak sürekliliği inceleyin.

Soldan limit:

\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3

. Sağdan limit ve fonksiyon değeri:

\lim_{x \to 1^+} (4x + 1) = f(1) = 4(1) + 1 = 5

olarak bulunur. Soldan limit (

3

) ile sağdan limit (

5

) birbirine eşit olmadığından fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli değildir.

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.

Süreklilik testinin sonucuna göre türevin varlığını değerlendirin.

Fonksiyon

x = 1

noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevlenebilir değildir.

Süreksiz bir noktada fonksiyonun türevi tanımlı olamaz, yani türevi yoktur.

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru