Examkin

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

17 soru

Tüm türler17Çoktan seçmeli8Doğru / Yanlış9
Soru 1Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonu için g(x)=f(x)⋅∣f(x)∣g(x) = f(x) \cdot |f(x)| şeklinde tanımlanan gg fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde her noktada türevlenebilir olduğu iddiası doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen iddia doğrudur.
Verilen iddia doğrudur çünkü f(x)f(x) fonksiyonunun türevlenebilir olması, g(x)=f(x)∣f(x)∣g(x) = f(x)|f(x)| fonksiyonunun f(x0)=0f(x_0)=0 olan kritik noktalarda da türevinin limit tanımıyla incelendiğinde türevlenebilir olduğunu ve bu türevin değerinin sıfır olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu durumları inceleyin.
f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 olan bir x0x_0 noktası için ff sürekli olduğundan, bu noktanın komşuluğunda f(x)f(x) işaret değiştirmez. Eğer f(x)>0f(x) > 0 ise komşulukta g(x)=f(x)2g(x) = f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)'tir. Eğer f(x)<0f(x) < 0 ise komşulukta g(x)=−f(x)2g(x) = -f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=−2f(x)f′(x)g'(x) = -2f(x)f'(x)'tir. Her iki durumda da türev mevcuttur.
Sıfırdan farklı noktalarda mutlak değerin dışarıya nasıl çıkacağı belirlenerek türevlenebilirlik doğrudan gösterilir.
2
Fonksiyonun sıfır olduğu durumları türevin tanımı yardımıyla inceleyin.
f(x0)=0f(x_0) = 0 olan bir x0x_0 noktası için g(x0)=0g(x_0) = 0 olur. Türevin tanımından: g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0f(x)∣f(x)∣−0x−x0=lim⁡x→x0(f(x)−f(x0)x−x0⋅∣f(x)∣)g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)|f(x)| - 0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot |f(x)| \right) yazılır.
Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda doğrudan limit tanımını kullanmak en güvenilir yöntemdir.
3
Limit ifadesinin sonucunu hesaplayın.
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) (türevli olduğu için mevcuttur) ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣=0\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| = 0 (sürekli olduğu için) olduğundan, bu iki limitin çarpımı g′(x0)=f′(x0)⋅0=0g'(x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0 olarak bulunur. Dolayısıyla g′(x0)g'(x_0) türevi mevcuttur ve sıfıra eşittir.
Çarpım limit kuralı uygulanarak limitin varlığı ve değeri gösterilir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinde mutlak değerli ifadelerin kritik noktalardaki türevlenebilirliğinin türev tanımıyla incelenmesi
Soru 2Soru →

m,nm, n ve kk birer gerçel sayı olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan ff fonksiyonu

f(x)={x2+mx+n,x<2∣x−3∣+k,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + mx + n, & x < 2 \\ |x - 3| + k, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

ff fonksiyonunun türevinin olmadığı yalnızca bir nokta bulunduğuna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türevlenebilirlik ve süreklilik ilişkisine göre aranan bilinmeyen parametre değeri -5'tir.
Fonksiyonun türevinin olmadığı tek nokta x=3x = 3 olduğundan, sınır noktası olan x=2x = 2 noktasında türevli olması gerekir. x=2x = 2 noktasındaki sol türevin (4+m4+m) sağ türeve (−1-1) eşitlenmesiyle doğru değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
T��revlenemeyen noktanın belirlenmesi.
x=3x = 3 noktası, f(x)=∣x−3∣+kf(x) = |x - 3| + k ifadesinin içini sıfır yapan tek katlı kök olduğundan, fonksiyon bu noktada sürekli olmasına rağmen bir köşe (kırılma) noktasına sahiptir ve türevli değildir.
Mutlak değer fonksiyonları, içlerini sıfır yapan tek katlı köklerde sürekli olsalar bile türevlenebilir değildirler.
2
Kritik sınır noktası olan x=2x = 2 noktasındaki türevlenebilirlik koşulunun incelenmesi.
ff fonksiyonunun t��revinin olmadığı yalnızca bir nokta (x=3x = 3) olduğu belirtildiğine göre, fonksiyon diğer kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında türevlenebilir olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ile sol türevlerinin eşit olması gerekir.
3
x=2x = 2 noktasındaki sağ ve sol türevlerin hesaplanıp eşitlenmesi.
x<2x < 2 için f′(x)=2x+m  ⟹  f′(2−)=4+mf'(x) = 2x + m \implies f'(2^-) = 4 + m olur. 2<x<32 < x < 3 aralığında x−3<0x-3 < 0 olduğundan ∣x−3∣=3−x|x-3| = 3-x olarak dışarı çıkar ve bu aralıktaki türevi f′(x)=−1  ⟹  f′(2+)=−1f'(x) = -1 \implies f'(2^+) = -1 bulunur. Bu türevlerin eşitliğinden 4+m=−1  ⟹  m=−54 + m = -1 \implies m = -5 elde edilir.
x=2x = 2 noktasında türevin var olabilmesi için sol türevin sağ türeve eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması, ardından o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir. Mutlak değer fonksiyonları ise içlerini sıfır yapan noktalarda sürekli olsalar dahi türevli olmayabilirler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Bir gerçel sayı fonksiyonu bir x=x0x = x_0 noktasında sürekli ise bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşul olsa da yeterli değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun sürekli olması o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez. Grafiklerdeki keskin köşeler bu durumun en temel istisnasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki genel mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebiliyorsa o noktada süreklidir. Ancak, sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmez (Süreklilik ⇏\not\Rightarrow Türevlenebilirlik).
Teorik tanım gereği türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, fakat karşıt yönlü önerme her zaman geçerli değildir.
2
Bir karşıt örnek (aksine örnek) belirleyerek sürekliliği inceleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğine bakalım: lim⁡x→0−∣x∣=0\lim_{x \to 0^-} |x| = 0, lim⁡x→0+∣x∣=0\lim_{x \to 0^+} |x| = 0 ve f(0)=0f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.
Aksine örneğin süreklilik koşulunu sağladığını göstermek.
3
Belirlenen karşıt örneğin bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleyin.
x=0x = 0 noktasında sağdan türev 11, soldan türev ise −1-1 olur. Sağdan ve soldan türev limitleri eşit olmadığından fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Sürekli olduğu halde türevi olmayan bir noktanın varlığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Süreklilik ve Türevlenebilirlik Arasındaki Mantıksal İlişki
Soru 4Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2+2x,x<14x+1,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1 \\ 4x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi f′(1)f'(1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yoktur

Cevap

Fonksiyonun bu noktada sürekli olmamasından dolayı türevi yoktur.
Türevlenebilmenin ilk şartı sürekliliktir. Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sol limiti 3, sağ limiti ve değeri ise 5'tir. Bu değerler farklı olduğu için fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli değildir. Dolayısıyla bu noktada türevlenebilmesi mümkün değildir ve türevi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
x=1x = 1 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değerini bularak sürekliliği inceleyin.
Soldan limit: lim⁡x→1−(x2+2x)=12+2(1)=3\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3. Sağdan limit ve fonksiyon değeri: lim⁡x→1+(4x+1)=f(1)=4(1)+1=5\lim_{x \to 1^+} (4x + 1) = f(1) = 4(1) + 1 = 5 olarak bulunur. Soldan limit (33) ile sağdan limit (55) birbirine eşit olmadığından fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli değildir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.
2
Süreklilik testinin sonucuna göre türevin varlığını değerlendirin.
Fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevlenebilir değildir.
Süreksiz bir noktada fonksiyonun türevi tanımlı olamaz, yani türevi yoktur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−c∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - c|
fonksiyonu yalnızca bir noktada türevsizdir.
Buna göre, k>0k > 0 olmak üzere, k+ck + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

k + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması için, türevsizliğe sebep olan iki mutlak değer teriminin kritik noktalarından birinin çakışması ve o noktada türevlenebilirliğin sağlanması gerekir. Bu da c = 1 veya c = 3 olması durumunda mümkündür. Her iki durumda da sağ ve sol türevlerin eşitliğinden k = 2 bulunur. Böylece k + c toplamı 3 ve 5 değerlerini alabilir, bu değerlerin toplamı 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaları belirleme
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) ifadesinin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3'tür. f(x)f(x) fonksiyonu ∣x2−4x+3∣|x^2 - 4x + 3| ve k∣x−c∣k|x-c| terimlerinin farkından oluşmaktadır. Bu bileşenlerin türevsiz olabileceği kritik noktalar x=1x = 1, x=3x = 3 ve x=cx = c'dir.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin köklerinde türevlenebilirlik bozulabilir, bu yüzden bu noktaları kritik nokta olarak ele almalıyız.
2
Türevsizlik noktalarının sayısını analiz etme
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması istenmektedir. Eğer cc sayısı 1 veya 3'ten farklı olsaydı, fonksiyonun türevsiz olabileceği 3 farklı nokta olurdu ve bu noktalar birbirini sadeleştiremezdi. Bu nedenle türevsizlik noktalarından birinin elenmesi (türevlenebilir hale gelmesi) için c=1c = 1 veya c=3c = 3 olmalıdır.
İki mutlak değerli ifadenin türevsizlik noktalarının çakışması, bu noktada türevlerin birbirini sıfırlayarak fonksiyonun türevlenebilir olmasını sağlayabilir.
3
c = 1 durumunu inceleme
c=1c = 1 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−1∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 1| olur. Bu fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→1−x \to 1^- için: f(x)=(x2−4x+3)+k(x−1)  ⟹  f′(1−)=−2+kf(x) = (x^2 - 4x + 3) + k(x - 1) \implies f'(1^-) = -2 + k
- x→1+x \to 1^+ için: f(x)=−(x2−4x+3)−k(x−1)  ⟹  f′(1+)=2−kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) - k(x - 1) \implies f'(1^+) = 2 - k
f′(1−)=f′(1+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(1^-) = f'(1^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+1=3k + c = 2 + 1 = 3 olur. Fonksiyon x=3x = 3 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 1 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
4
c = 3 durumunu inceleme
c=3c = 3 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 3| olur. Bu fonksiyon x=3x = 3 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→3−x \to 3^- için: f(x)=−(x2−4x+3)+k(x−3)  ⟹  f′(3−)=−2+kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) + k(x - 3) \implies f'(3^-) = -2 + k
- x→3+x \to 3^+ i��in: f(x)=(x2−4x+3)−k(x−3)  ⟹  f′(3+)=2−kf(x) = (x^2 - 4x + 3) - k(x - 3) \implies f'(3^+) = 2 - k
f′(3−)=f′(3+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(3^-) = f'(3^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+3=5k + c = 2 + 3 = 5 olur. Fonksiyon x=1x = 1 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 3 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
5
Değerlerin toplamını hesaplama
k+ck + c ifadesinin alabileceği farklı değerler 33 ve 55 olup, bu değerlerin toplamı 3+5=83 + 5 = 8 olarak hesaplanır.
Soru bizden elde edilen farklı k+ck + c değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli fonksiyonlarda türevlenebilme koşulu, sağ ve sol limit/türev kavramlarının süreklilikle ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, türev tanımı (limit tanımı) kullanılarak x = 1 ve x = 3 noktalarındaki sağdan ve soldan limitler yardımıyla türevlenebilirlik doğrudan kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=ax = a noktasında sürekli olan bir ff fonksiyonu için
lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)2h\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}
limitinin bir gerçel sayıya eşit olması, ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevlenebilir olması için yeterlidir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü süreklilik ve simetrik limitin varlığı, fonksiyonun o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez; f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu buna net bir karşıt örnektir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi ve verilen limit ifadesini analiz etme.
Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir, ancak sürekli her fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir. Verilen limit, literatürde simetrik türev limiti olarak bilinir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için bir karşı örnek aranmasına karar verilir.
2
Sürekli olduğu halde türevsiz olan en bilindik fonksiyonu (f(x)=∣x∣f(x) = |x|) x=0x = 0 (a=0a = 0) noktası için inceleme.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonu x=0x = 0 noktasında süreklidir çünkü lim⁡x→0∣x∣=f(0)=0\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0 koşulu sağlanır.
Önermedeki ilk şart olan sürekli olma koşulunun sağlandığı teyit edilir.
3
Seçilen fonksiyon için a=0a = 0 noktasındaki limit ifadesinin değerini hesaplama.
lim⁡h→0∣0+h∣−∣0−h∣2h=lim⁡h→0∣h∣−∣h∣2h=lim⁡h→002h=0\lim_{h \to 0} \frac{|0+h| - |0-h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - |h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = 0
olarak bulunur. Dolayısıyla limit mevcuttur ve 00 gerçel sayısına eşittir.
Önermedeki ikinci şart olan limitin bir gerçel sayıya eşit olma koşulunun sağlandığı gösterilir.
4
Fonksiyonun ilgili noktadaki türevlenebilirliğini kontrol etme.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki sağdan türevi 11, soldan türevi ise −1-1'dir. Sağdan ve soldan türevler eşit olmadığından, fonksiyon x=0x = 0 noktasında türevlenebilir değildir.
Önermenin sonucunun (türevlenebilir olması gerektiği iddiasının) yanlış olduğunu gösteren bir karşı örnek bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur ancak yeterli bir koşul değildir. Bir noktada sürekli olan ve simetrik limit değeri var olan bir fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir.
Soru 7Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4
ve f(2)=1f(2) = 1 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi f′(2)f'(2) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

Cevap

Fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.
Doğru seçenek olan ifadenin belirttiği gibi, fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki limiti (44), fonksiyonun o noktadaki değerinden (11) farklıdır. Bu durum fonksiyonun x=2x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösterir. Süreksiz noktalarda fonksiyon türevlenemez olduğundan, bu noktada türev yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik kontrolü yapılması
lim⁡x→2f(x)=4≠f(2)=1\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 1 olduğundan fonksiyon x=2x = 2 noktasında sürekli değildir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması şarttır.
2
Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinin uygulanması
Fonksiyon süreksiz olduğundan x=2x = 2 noktasında türevlenebilir değildir.
Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (Türevlenebilirlik ⇒\Rightarrow Süreklilik). Bu kuralın karşıt tersi gereği, süreksiz olan bir noktada fonksiyon türevlenemez (Süreksizlik ⇒\Rightarrow Türevsizlik).

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması şarttır. Eğer fonksiyon bir noktada süreksiz ise o noktada türevli olamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx,x<12,x=1∣x2−5x+c∣,x>1f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ |x^2 - 5x + c|, & x > 1 \end{cases}
fonksiyonu x=1x = 1 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, c<4c < 4 olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru yanıt 2 değeridir. x = 1 noktasında süreklilikten a + b = 2 ve c = 2 bulunur. x = 1'in sağ komşuluğunda mutlak değerin içi negatif olduğundan fonksiyon f(x) = -x^2 + 5x - 2 olarak dışarı çıkar ve sağ türev 3 olur. Sol türev 2a + b olduğuna göre 2a + b = 3 eşitliğinden a = 1 ve b = 1 elde edilir. Böylece a - b + c = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sürekliliğini inceleyin.
Süreklilik şartı gereği sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2. Buradan a+b=2a + b = 2 ve ∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denklemleri elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
c parametresinin değerini belirleyin.
∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denkleminden c−4=2  ⟹  c=6c - 4 = 2 \implies c = 6 veya c−4=−2  ⟹  c=2c - 4 = -2 \implies c = 2 bulunur. Soruda verilen c<4c < 4 koşulu nedeniyle c=2c = 2 olarak seçilir.
Mutlak değerli denklemin çözüm kümesindeki elemanlardan verilen tanım aralığına uygun olanı seçilmelidir.
3
Sağ ve sol türevleri hesaplayarak birbirine eşitleyin.
Sol türev: f−′(1)=2a+bf'_{-}(1) = 2a + b. Sağ türev için c=2c = 2 yazıldığında x2−5x+2x^2 - 5x + 2 ifadesi x=1x = 1 noktasında negatif olduğundan mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: f(x)=−x2+5x−2f(x) = -x^2 + 5x - 2. Buradan sağ türev f+′(1)=−2(1)+5=3f'_{+}(1) = -2(1) + 5 = 3 olur. Türevlenebilirlik için 2a+b=32a + b = 3 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktadaki sağ ve sol türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen ifadeyi hesaplayın.
a+b=2a + b = 2 ve 2a+b=32a + b = 3 denklemlerinden a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan a−b+c=1−1+2=2a - b + c = 1 - 1 + 2 = 2 elde edilir.
Bilinmeyen parametreler bulunduktan sonra soruda sorulan cebirsel ifadenin değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 9Soru →

Gerçel say��lar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için ∣f∣|f| fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu bu noktada sürekli olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Bir fonksiyonun mutlak değerinin bir noktada türevlenebilir olması, fonksiyonun o noktada sürekli olmasını gerektirmez.
Verilen ifade yanlıştır. Karşıt örnek olarak seçilen f(x)=sgn(x)f(x) = \text{sgn}(x) benzeri bir fonksiyonun mutlak değeri sabit fonksiyon olup her yerde türevlenebilirken, fonksiyonun kendisi sıçrama noktasında sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik arasındaki genel ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir. Ancak mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirliği ile orijinal fonksiyonun sürekliliği arasındaki ilişki doğrudan bu kurala uymayabilir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için genel kuralları ve istisnaları belirlemek gerekir.
2
Önermeyi çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) oluşturalım.
f(x)={1,x≥0−1,x<0f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} parçalı fonksiyonunu ele alalım.
Genel bir önermenin yanlış olduğunu göstermenin en doğrudan yolu tek bir karşı örnek sunmaktır.
3
Oluşturulan karşıt örneğin mutlak değerinin türevlenebilirliğini inceleyelim.
∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Bu sabit fonksiyon her xx gerçel sayısı için türevlidir ve türevi sıfırdır ((∣f∣)′(0)=0(|f|)'(0) = 0).
Karşıt örneğin hipotez şartını (∣f∣|f|'in türevlenebilirliği) sağladığını doğrulamak gerekir.
4
Oluşturulan karşıt örneğin x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 ve lim⁡x→0−f(x)=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 olduğundan, limit mevcut değildir ve dolayısıyla fonksiyon x=0x = 0 noktasında sürekli değildir.
Karşıt örneğin hüküm kısmını (ff'in sürekliliği) sağlamadığını göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi, özellikle mutlak değer fonksiyonu altında süreksiz fonksiyonların türevlenebilir fonksiyonlara dönüşebilmesi.

Alternatif Yöntem

Süreksiz bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasını geometrik olarak grafiklerin simetrisi (x eksenine göre yansıma) üzerinden de düşünebiliriz. y=−1y = -1 ve y=1y = 1 doğrularının mutlak değeri tek bir sürekli y=1y = 1 doğrusuna dönüşür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

II. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında sürekli ve ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

III. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesi her zaman doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri bir noktada türevlenebiliyorsa, o noktada fonksiyonun kendisi भी türevlenebilirdir. Eğer fonksiyonun o noktadaki değeri sıfırdan farklıysa fonksiyon işaret değiştirmediği için türevlenebilirlik korunur; eğer sıfıra eşitse mutlak değer fonksiyonu orada bir yerel minimuma sahip olur ve bu da türev değerinin sıfır olmasını gerektirerek orijinal fonksiyonun da türevini sıfır yapar.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek geliştirmek.
f(x)=1f(x) = 1 (x≥ax \geq a için) ve f(x)=−1f(x) = -1 (x<ax < a için) olarak tanımlanan parçalı fonksiyon ele alındığında, ∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Sabit fonksiyon olan ∣f∣|f| her yerde (ve dolayısıyla x=ax = a noktasında) türevlenebilirdir. Ancak ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sağdan limiti 11, soldan limiti −1-1 olduğundan bu noktada sürekli değildir.
Bir ��nermenin genel geçerliliğini çürütmek için en az bir karşıt örnek göstermek yeterlidir.
2
II. ifadenin ispatını iki ayrı durum (f(a)≠0f(a) \neq 0 ve f(a)=0f(a) = 0) altında gerçekleştirmek.
Durum 1: f(a)≠0f(a) \neq 0 olsun. Süreklilik nedeniyle aa noktasının küçük bir komşuluğunda ff işaret değiştirmez. Bu komşulukta ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) veya ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur. ∣f∣|f| türevlenebildiğinden ff de türevlenebilirdir. Durum 2: f(a)=0f(a) = 0 olsun. ∣f(x)∣≥0=∣f(a)∣|f(x)| \geq 0 = |f(a)| olduğundan x=ax=a noktası ∣f∣|f| için bir yerel minimumdur. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumundaki türevi 00 olacağından (∣f∣)′(a)=0(|f|)'(a) = 0 olur. Buradan \lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = 0 \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0 olur. olur. f(a)=0 oldug˘undanbulimit olduğundan bu limit f'(a) = 0$ olduğunu gösterir.
Sürekli bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasının, fonksiyonun kendi türevlenebilirliğini gerektirdiğini matematiksel olarak doğrulamak.
3
III. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek bulmak.
f(x)=x−af(x) = x - a doğrusal fonksiyonu her yerde ve dolayısıyla x=ax = a noktasında türevlenebilirdir (f′(a)=1f'(a) = 1). Ancak ∣f(x)∣=∣x−a∣|f(x)| = |x - a| fonksiyonunun x=ax = a noktasında grafiğinde bir sivri uç (kırılma) oluşur. Bu noktada sağdan türev 11, soldan türev −1-1 olduğundan ∣f∣|f| fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevi yoktur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalarda türevini kaybedebileceğini göstermek.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki mantıksal ilişki ve mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilme koşulları.
Soru 11Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğu bilinmektedir. Buna göre, g(x)=(x−x0)⋅f(x)g(x) = (x - x_0) \cdot f(x) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında her zaman türevlenebilir olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Türevin limit tanımına göre limit alındığında (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir ve geriye yalnızca lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) kalır. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğundan bu limit değeri mevcut ve f(x0)f(x_0) gerçel sayısına eşittir. Bu nedenle gg fonksiyonu bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki değerini hesaplayın.
g(x0)=(x0−x0)⋅f(x0)=0⋅f(x0)=0g(x_0) = (x_0 - x_0) \cdot f(x_0) = 0 \cdot f(x_0) = 0
Türevin limit tanımını yazabilmek için fonksiyonun o noktadaki görüntüsünü bilmemiz gerekir.
2
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki türevlenebilirliğini incelemek amacıyla türevin limit tanımını oluşturun.
g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0(x−x0)f(x)−0x−x0g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x) - 0}{x - x_0}
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, limit türev tanımının mevcudiyetiyle belirlenir.
3
Elde edilen limit ifadesinde gerekli sadeleştirmeleri yapın ve süreklilik şartını uygulayın.
\lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
x≠x0x \neq x_0 koşulu altında pay ve paydadaki (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olarak verildiğinden, limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine (f(x0)f(x_0)) eşit olur. Bu limit gerçel bir sayı belirttiğinden gg fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilirdir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve süreklilik ile türevlenebilme arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonunun bir x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli bir koşul değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Bu nedenle sürekli olan her fonksiyonun o noktada türevlenebilir olması gerekmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki mantıksal gerektirmeyi incelemek.
Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (T  ⟹  ST \implies S), fakat bu önermenin karşıtı (S  ⟹  TS \implies T) her zaman doğru değildir.
İki kavram arasındaki mantıksal yönü belirlemek için.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşıt örnek) ele almak.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasında sürekli olduğu (lim⁡x→0∣x∣=f(0)=0\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0) fakat sağdan ve soldan türevlerinin farklı olması sebebiyle türevsiz olduğu görülür.
Sürekliliğin türevlenebilirlik için yeterli bir koşul olmadığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, ancak süreklilik türevlenebilirliği garanti etmez.
Soru 13Soru →

Bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun bir x0x_0 noktasında limitinin var olması ve lim⁡x→x0−f′(x)=lim⁡x→x0+f′(x)\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) koşulunun sağlanması, bu fonksiyonun x0x_0 noktasında türevlenebilir olması için her zaman yeterli bir koşul mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması şarttır. Fonksiyonun o noktada limitinin olması ve türev fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması, o noktada sürekli olduğunu garanti etmez. Dolayısıyla bu koşullar türevlenebilirlik için her zaman yeterli değildir.
Verilen ifade her zaman doğru değildir; çünkü türevlenebilirlik için süreklilik şarttır ve limitin varlığı ile türev limitlerinin eşitliği sürekliliği garanti etmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyonun x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Yani, lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) eşitli��i sağlanmalıdır.
Süreklilik, türevlenebilmenin temel ve gerekli bir ön koşuludur.
2
Verilen koşulların sürekliliği garanti edip etmediğini inceleyelim.
Soruda ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında limitinin var olduğu ve türev limitlerinin eşit olduğu verilmiştir. Ancak fonksiyonun bu noktadaki değeri olan f(x0)f(x_0) hakkında bilgi verilmemiştir. Dolayısıyla f(x0)≠lim⁡x→x0f(x)f(x_0) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) durumu gerçekleşebilir.
Sürekliliğin sağlanması için limit değerinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması zorunludur.
3
İddianın her zaman doğru olmadığını gösteren bir karşıt örnek sunalım.
f(x)=xf(x) = x (eğer x≠0x \neq 0 ise) ve f(0)=1f(0) = 1 fonksiyonunu seçelim. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 olup mevcuttur. x≠0x \neq 0 için f′(x)=1f'(x) = 1 olduğundan lim⁡x→0−f′(x)=lim⁡x→0+f′(x)=1\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 olur. Ancak f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0 olduğundan fonksiyon sürekli değildir ve dolayısıyla x0=0x_0 = 0'da türevlenemez.
Tek bir karşıt örnek, genel bir iddianın her zaman doğru olmadığını göstermek için yeterlidir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme için sürekliliğin gerekli bir koşul olması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx+4,x<3∣x2−5∣,x≥3f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 4, & x < 3 \\ |x^2 - 5|, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonu her gerçel sayı için türevlenebilir olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

−12-12
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sürekli ve türevlenebilir olması gerekir. Süreklilik şartından 3a+b=03a + b = 0, türevlenebilirlik şartından ise 6a+b=66a + b = 6 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=2a = 2 ve b=−6b = -6 bulunur. Buradan çarpımları −12-12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik Şartının İncelenmesi
9a+3b+4=4  ⟹  3a+b=09a + 3b + 4 = 4 \implies 3a + b = 0 denklemine ulaşılır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
Türevlenebilirlik Şartının İncelenmesi
6a+b=66a + b = 6 denklemine ulaşılır.
Türevlenebilirlik için limit noktasındaki sağ ve sol türev değerleri birbirine eşit olmalıdır.
3
Denklem Sisteminin Çözülmesi ve Sonuç
a=2a = 2, b=−6b = -6 bulunur ve buradan a⋅b=−12a \cdot b = -12 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi taraf tarafa çıkarma yöntemiyle çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Alternatif Yöntem

Türevlenebilirlik tanımı limit formülü kullanılarak da sağdan ve soldan limitlerle türevler hesaplanabilir. Ancak pratik olarak sağ ve sol dalların türev fonksiyonlarının limitleri alınarak eşitleme yapmak daha hızlı bir çözüm sunar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu olan ∣f(x)∣|f(x)|, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü olan her xx noktasında kesinlikle türevsizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır olduğu bir noktada türevlenebilir olması için bu noktadaki türevinin sıfır olması yeterlidir.
Verilen ifadenin genel olarak doğru olmamasının sebebi, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin köklerinde fonksiyonun türevinin sıfır olması durumunda mutlak değer fonksiyonunun da o noktada türevlenebilir olmasıdır. Bu duruma en belirgin örnek f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirlik kuralını hatırlayalım.
Türevlenebilir bir f(x)f(x) fonksiyonu için, f(x0)=0f(x_0) = 0 ise ∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki türevlenebilirliği f′(x0)f'(x_0) değerine bağlıdır.
Kök noktasında fonksiyonun işaret değiştirmesi durumunda türevin varlığını incelemek için.
2
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ve f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 durumlarını ayrı ayrı analiz edelim.
Eğer f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 ise, x0x_0 noktasında sağ ve sol türevler farklı işaretli olacağından (biri f′(x0)f'(x_0), diğeri −f′(x0)-f'(x_0)) türev yoktur. Ancak f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ise, sağ ve sol türevlerin her ikisi de 00 olacağından fonksiyon x0x_0 noktasında türevlenebilir olur.
Türev tanımından sağ ve sol limitlerin eşitliğini kontrol etmek için.
3
İddiayı çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) verelim.
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunu ele alalım. f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü x=0x = 0 noktasıdır. ∣f(x)∣=∣x2∣=x2|f(x)| = |x^2| = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki türevi lim⁡h→0h2−0h=0\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0 olup türevlenebilirdir.
İfadenin 'kesinlikle türevsizdir' genellemesinin yanlış olduğunu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin köklerindeki türevlenebilirliği
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={cos⁡x+a,x<0x2+bx+c,x≥0f(x) = \begin{cases} \cos x + a, & x < 0 \\ x^2 + bx + c, & x \ge 0 \end{cases}
fonksiyonu her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olduğuna göre, a−c+ba - c + b ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen ifadenin değeri -1 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevlenebilir olması için sürekli olması gerektiğinden a−c=−1a - c = -1 elde edilir. Kritik noktadaki sağ ve sol türevlerin eşitliğinden ise b=0b = 0 bulunur. Bu değerler toplandığında istenen ifade −1-1 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=0x = 0 noktasında sürekli olması gerekir. Bu nedenle x=0x = 0 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşitlenir.
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)  ⟹  cos⁡(0)+a=c  ⟹  1+a=c  ⟹  a−c=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \implies \cos(0) + a = c \implies 1 + a = c \implies a - c = -1 elde edilir.
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktalarda sürekli olmak zorundadır.
2
Süreklilik sağlandıktan sonra, x=0x = 0 noktasındaki sağdan ve soldan türevler hesaplanarak birbirine eşitlenir.
x<0x < 0 için f′(x)=−sin⁡x  ⟹  f′(0−)=−sin⁡(0)=0f'(x) = -\sin x \implies f'(0^-) = -\sin(0) = 0 ve x>0x > 0 için f′(x)=2x+b  ⟹  f′(0+)=bf'(x) = 2x + b \implies f'(0^+) = b olur. Buradan sağ ve sol türevlerin eşitliğinden b=0b = 0 bulunur.
Bir fonksiyonun sürekli olduğu bir noktada türevli olması için o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir.
3
Elde edilen a−c=−1a - c = -1 ve b=0b = 0 değerleri a−c+ba - c + b ifadesinde yerine yazılır.
a−c+b=−1+0=−1a - c + b = -1 + 0 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen ifadenin değerini hesaplamak için elde edilen parametre ilişkileri kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 17Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Süreklilik, türevlenebilme için gerekli bir koşul olsa da yeterli bir koşul değildir.
Süreklilik, türevlenebilme için sadece gerekli bir ön koşuldur; sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmediğinden (örneğin mutlak değer fonksiyonlarının köklerindeki kırılma noktaları) önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik kavramları arasındaki mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada kesinlikle süreklidir. Ancak bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir; yani süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur fakat yeterli değildir.
Türevlenebilme kavramı sürekliliğe göre daha güçlü ve kısıtlayıcı bir yapıya sahiptir.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşı örnek) belirleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu incelendiğinde, lim⁡x→0f(x)=f(0)=0\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir. Ancak sağdan türevi 11, soldan türevi −1-1 olduğundan bu noktada türevi yoktur.
Grafikteki keskin kırılma (köşe) noktalarında limit ve süreklilik sağlanırken sağ ve sol türevler birbirinden farklı olur.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi
Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin