Examkin

Soru

Zorluk: KolayTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bir gerçel sayı fonksiyonu bir x=x0x = x_0 noktasında sürekli ise bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Cevap: Cevap

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşul olsa da yeterli değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun sürekli olması o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez. Grafiklerdeki keskin köşeler bu durumun en temel istisnasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki genel mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebiliyorsa o noktada süreklidir. Ancak, sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmez (Süreklilik ⇏\not\Rightarrow Türevlenebilirlik).
Teorik tanım gereği türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, fakat karşıt yönlü önerme her zaman geçerli değildir.
2
Bir karşıt örnek (aksine örnek) belirleyerek sürekliliği inceleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğine bakalım: lim⁡x→0−∣x∣=0\lim_{x \to 0^-} |x| = 0, lim⁡x→0+∣x∣=0\lim_{x \to 0^+} |x| = 0 ve f(0)=0f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.
Aksine örneğin süreklilik koşulunu sağladığını göstermek.
3
Belirlenen karşıt örneğin bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleyin.
x=0x = 0 noktasında sağdan türev 11, soldan türev ise −1-1 olur. Sağdan ve soldan türev limitleri eşit olmadığından fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Sürekli olduğu halde türevi olmayan bir noktanın varlığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Süreklilik ve Türevlenebilirlik Arasındaki Mantıksal İlişki
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru