Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 2x^2 + 5x$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 9

Limit ifadesinin değeri 9'dur.

Verilen limit ifadesi,

f

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki anlık değişim oranı olan

f'(1)

değerinin tanımıdır.

f(x) = 2x^2 + 5x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 4x + 5

olduğundan,

x = 1

için türev değeri

4 \cdot 1 + 5 = 9

bulunur.

Limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisini belirleme

Limit ifadesi

f'(1)

değerine eşittir.

Türevin limit tanımına göre

\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)

eşitliği sağlanır. Burada

a = 1

alınmıştır.

f(x) = 2x^2 + 5x

fonksiyonunun türevini bulma

f'(x) = 4x + 5

Polinom fonksiyonların türev kuralı (

d/dx(x^n) = n x^{n-1}

) kullanılmıştır.

Türev fonksiyonunda

x = 1

yazarak limit değerini hesaplama

f'(1) = 4(1) + 5 = 9

işlemi gerçekleştirilir.

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktadaki anlık değişim oranının (türevinin) hesaplanması.

Limit ifadesinde fonksiyon değerlerini doğrudan yerine yazarak da sonuca ulaşabiliriz:

f(1) = 7

olduğundan limit

\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x - 7}{x - 1}

olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda

\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 7)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 7) = 9

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru