Türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(1) = 2 olmak üzere, \lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6 \neşitliği veriliyor. Buna göre, f'(1) değeri kaçtır?

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(1) = 2 olmak üzere, \lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 2

olmak üzere,

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Cevap: -1

Türevlenebilir

f

fonksiyonu için

f'(1)

değeri

-1

olarak bulunur.

Verilen limit ifadesi cebirsel olarak düzenlendiğinde türevin limit tanımı yardımıyla

2f(1) - 2f'(1) = 6

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte

f(1) = 2

değeri yerine yazıldığında

f'(1) = -1

bulunur.

Verilen limit ifadesinin pay kısmına

f(1)

terimini ekleyip çıkararak ifadeyi düzenleyelim.

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6

Türevin limit tanımını kullanabilmek için

f(u) - f(1)

benzeri ifadeler elde etmeyi amaçlıyoruz.

Payı gruplandırarak limit ifadesini iki ayrı limitin farkı şeklinde ayıralım.

\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right] = 6

Limiti daha kolay hesaplanabilir iki bağımsız parçaya bölmek için.

Birinci terimde

x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

özdeşliğini kullanarak sadeleştirme yapalım; ikinci terimde ise pay ve paydayı

x+1

ile çarparak türevin tanım formatını oluşturalım.

\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot (x + 1) - \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = 6

x \to 1

iken

x^2 \to 1

olduğundan, ikinci limit parçasında türev tanımını uygulayabilmek için.

x \to 1

için limitleri alalım ve verilen

f(1) = 2

değerini yerine yazarak

f'(1)

değerini hesaplayalım.

f(1) \cdot 2 - f'(1) \cdot 2 = 6 \implies 2(2) - 2f'(1) = 6 \implies 4 - 2f'(1) = 6 \implies f'(1) = -1

Denklemi çözüp istenen türev değerine ulaşmak için.

Türevin limit tanımı ve limitin cebirsel özellikleri