Examkin

Soru

Zorluk: KolayAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    -5
  3. 5Cevap
  4. D
    1
  5. E
    0

Cevap

5
Verilen lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} limit ifadesi, türevin limit tanımı gereği doğrudan f′(3)f'(3) değerine karşılık gelmektedir. f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, bu fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değeri 2(3)−1=52(3) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla olan ilişkisini belirleme.
Tanım gereği, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a) eşitliği vardır. Bu durumda sorulan limit ifadesi f′(3)f'(3) değerine eşittir.
Anlık değişim oranı ve türevin limit tanımı bu limit formülü ile ifade edilir.
2
f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevini hesaplama.
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 bulunur.
Polinom fonksiyonların türev kuralı (d/dx(xn)=n⋅xn−1d/dx(x^n) = n \cdot x^{n-1}) uygulanmıştır.
3
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak nihai sonucu bulma.
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5 elde edilir.
İstenen noktadaki anlık değişim oranını bulmak için türev fonksiyonunda ilgili değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Bu konudan daha fazla soru