Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Tanımlı olduğu kümede f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(1−2h)−f(1+4h)3h \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - 2h) - f(1 + 4h)}{3h}
limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Limit ifadesinin değeri 4'tür.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımı kullanılarak −2f′(1)-2f'(1) şeklinde yazılabilir. f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonunun türevi f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2} olduğundan, f′(1)=−2f'(1) = -2 olur. Buradan limitin değeri −2⋅(−2)=4-2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}
f(x)=18(x+2)−1f(x) = 18(x+2)^{-1} şeklinde yazılarak türev alma kuralı uygulandığında f′(x)=−18(x+2)−2f'(x) = -18(x+2)^{-2} elde edilir.
2
Türevin x=1x = 1 noktasındaki değerini bulalım.
f′(1)=−2f'(1) = -2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazılarak f′(1)=−18(1+2)2=−2f'(1) = -\frac{18}{(1+2)^2} = -2 bulunur.
3
Limit ifadesini türevin tanımına göre düzenleyelim.
−2f′(1)-2f'(1)
Pay kısmına f(1)f(1) eklenip çıkarılarak limit parçalandığında, lim⁡h→0f(1−2h)−f(1)3h−lim⁡h→0f(1+4h)−f(1)3h=−23f′(1)−43f′(1)=−2f′(1)\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{3h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(1+4h)-f(1)}{3h} = -\frac{2}{3}f'(1) - \frac{4}{3}f'(1) = -2f'(1) elde edilir.
4
Limit değerini hesaplayalım.
4
−2f′(1)=−2⋅(−2)=4-2f'(1) = -2 \cdot (-2) = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı
Bu soruyu puanla

Konular

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Bu konudan daha fazla soru