Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisinde, a_1 \cdot a_9 = 64 a_3 + a_7 = 34 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisinde, a_1 \cdot a_9 = 64 a_3 + a_7 = 34 \neşitlik… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_1 \cdot a_9 = 64

a_3 + a_7 = 34

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Cevap:Bu geometrik dizinin ortak çarpanının alabileceği değerlerden küçük olanı 【1/2】, büyük olanı ise 【2】 dir.

Ortak çarpanın alabileceği değerlerden küçük olanı 1/2, büyük olanı ise 2'dir.

Ortak çarpanın alabileceği değerler

1/2

2

olup, küçük olan değer

1/2

(veya 0.5), büyük olan değer ise

2

'dir.

Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımları arasında ilişki kurmak.

a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = 64

olarak elde edilir.

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

3 + 7 = 1 + 9 = 10

Toplamları 34 ve çarpımları 64 olan

a_3

a_7

terimlerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem oluşturmak.

t^2 - 34t + 64 = 0 \implies (t-2)(t-32) = 0

denkleminin kökleri

2

32

olarak bulunur. Dolayısıyla

\{a_3, a_7\} = \{2, 32\}

kümesi elde edilir.

Toplamları

S

ve çarpımları

P

olan sayılar,

t^2 - St + P = 0

denkleminin kökleridir.

Her iki durum için ortak çarpan

r

değerlerini hesaplamak.

1. Durum:

a_3 = 2

a_7 = 32

ise

r^4 = 32/2 = 16 \implies r = 2

bulunur. 2. Durum:

a_3 = 32

a_7 = 2

ise

r^4 = 2/32 = 1/16 \implies r = 1/2

bulunur.

Dizinin ardışık olmayan terimleri arasında

a_7 = a_3 \cdot r^4

ilişkisi vardır. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan

r

pozitif olmalıdır.

Geometrik dizilerde indis toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliği ve terimler arası oran yardımıyla ortak çarpan bulma.