Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve x=0x = 0 noktasında türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için f(0)=g(0)=0f(0) = g(0) = 0 ve lim⁡x→0f(x)g(x)=L∈R\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}'dir. Buna göre, L=f′(0)g′(0)L = \frac{f'(0)}{g'(0)} eşitliği her zaman sağlanır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü paydanın türevinin sıfır olduğu durumlarda limit mevcut olsa bile türevler oranı tanımsız kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanımlılık durumunu incelemek.
g′(0)=0g'(0) = 0 olması durumunda f′(0)g′(0)\frac{f'(0)}{g'(0)} ifadesinin paydası sıfır olacağından bu oran tanımsız olur.
Bir eşitliğin her zaman sağlanması için ifadenin her iki tarafının da tanımlı olması gerekir.
2
Limitin var olduğu ancak türevler oranının tanımsız olduğu bir karşıt örnek oluşturmak.
f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 seçildiğinde, x→0x \to 0 iken limit değeri lim⁡x→0x2x2=1\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 olur.
Karşıt örnek yöntemiyle önermenin genel geçerliliğini test etmek.
3
Seçilen fonksiyonların türevlerini sıfır noktasında hesaplamak.
f′(x)=2x  ⟹  f′(0)=0f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0 ve g′(x)=2x  ⟹  g′(0)=0g'(x) = 2x \implies g'(0) = 0 olur.
Karşıt örnekteki fonksiyonların x=0x = 0 noktasındaki türev değerlerini belirlemek.
4
Eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.
L=1L = 1 iken f′(0)g′(0)=00\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{0}{0} tanımsızlığı oluşur ve 1≠tanımsız1 \neq \text{tanımsız} olduğundan eşitlik sağlanmaz.
Elde edilen değerleri önermede yerine koyarak doğruluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir fonksiyonların limitlerinde 0/00/0 belirsizliği çözülürken paydanın türevinin limit noktasındaki değerinin sıfır olabilmesi durumu ve limitin türev tanımıyla ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru