\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{4\cos^2(x) - 1} limitinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{4\cos^2(x) - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Sadeleştirilmiş ifadede limit değeri yerine yazıldığında elde edilen 1/2 değeri doğru cevaptır.

Limit ifadesinde

x = \frac{\pi}{3}

yazıldığında

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşmaktadır. Paydadaki

4\cos^2(x) - 1

ifadesi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak

(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki

2\cos(x) - 1

terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan

\frac{1}{2\cos(x) + 1}

ifadesinde

x = \frac{\pi}{3}

değeri yerine yazıldığında sonuç

1/2

olarak bulunur.

Limitteki değişkenin yaklaştığı değeri (

x = \frac{\pi}{3}

) fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.

2\cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0

4\cos^2(\frac{\pi}{3}) - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0

olduğu için

\frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limit değerini doğrudan hesaplayıp hesaplayamayacağımızı veya bir belirsizlik olup olmadığını belirlemek için bu işlem yapılır.

Paydadaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve pay ile sadeleştirin.

4\cos^2(x) - 1 = (2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)

olduğundan limit ifadesi

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\cos(x) + 1}

haline gelir.

\frac{0}{0}

belirsizliğine neden olan

2\cos(x) - 1

çarpanını sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak gerekir.

Sadeleştirilmiş ifadede

x = \frac{\pi}{3}

yazarak limit değerini hesaplayın.

\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{3}) + 1} = \frac{1}{2(\frac{1}{2}) + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale geldiğinden limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yaparak 0/0 belirsizliğini giderme.

L'Hopital kuralı müfredat dışı olsa da kontrol amaçlı kullanılabilir: Payın türevi

-2\sin(x)

, paydanın türevi

-8\cos(x)\sin(x) = -4\sin(2x)

olur. Türevlerin oranında

x = \frac{\pi}{3}

yazıldığında da aynı sonuç elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru