Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen f ve g fonksiyonları arasında f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x) ilişkisi bulunmaktadır. g(0) = 5 ve g'(0) = 2 olduğuna göre, h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)} fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen f ve g fonksiyonları arasında f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen

f

g

fonksiyonları arasında

f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x)

ilişkisi bulunmaktadır.

g(0) = 5

g'(0) = 2

olduğuna göre,

h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)}

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

A
-2
B
-7
-6Cevap
D
0
E
-1

Cevap

-6

Doğru cevap olan -6 değeri; sırasıyla çarpım, bölüm ve zincir türev kurallarının doğru şekilde uygulanması, x = 2 noktasındaki iç türevlerin hesaba katılması ve elde edilen değerlerin yerlerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x)

eşitliğinde her iki tarafın

x

'e göre türevi alınır.

f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) = 2x \cdot g(2-x) - (x^2 + 1) \cdot g'(2-x)

Eşitliğin her iki tarafının türevi birbirine eşittir; sol tarafta zincir kuralı, sağ tarafta ise çarpım ve zincir kuralları uygulanır.

Elde edilen türev eşitliğinde

x = 2

yazılarak

f'(0)

değeri bulunur.

2 \cdot f'(0) = 4 \cdot g(0) - 5 \cdot g'(0) \implies 2 \cdot f'(0) = 4(5) - 5(2) \implies f'(0) = 5

x = 2

değeri,

f'

fonksiyonunun içini

0

yapar ve bilinen

g(0)

ile

g'(0)

değerlerini kullanmamızı sağlar.

Orijinal eşitlikte

x = 2

yazılarak

f(0)

değeri bulunur.

f(0) = (2^2 + 1) \cdot g(0) \implies f(0) = 5 \cdot 5 = 25

h'(2)

ifadesinin hesaplanması sırasında

f(0)

değerine ihtiyaç duyulacaktır.

h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)}

fonksiyonunun bölümün türevi kuralı kullanılarak türevi alınır ve

x = 2

yazılır.

h'(x) = \frac{[f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)] \cdot g(x^2 - 4) - f(x^2 - 2x) \cdot [g'(x^2 - 4) \cdot 2x]}{[g(x^2 - 4)]^2}

ve buradan

h'(2) = \frac{2 f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot 4 g'(0)}{[g(0)]^2}

elde edilir.

Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini almak için b��lümün türevi ve zincir kuralı kuralları birleştirilir.

Bulunan

f(0) = 25

f'(0) = 5

g(0) = 5

g'(0) = 2

değerleri

h'(2)

ifadesinde yerine yazılır.

h'(2) = \frac{2(5) \cdot 5 - 25 \cdot 4(2)}{5^2} = \frac{50 - 200}{25} = -6

Gerekli tüm değerler yerine konularak aritmetik işlem tamamlanır ve sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Bölüm, Çarpım ve Zincir Kuralları)

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru