Türevlenebilen bir f fonksiyonunun x = 1 noktasındaki değeri 2 ve bu noktadaki türevi 5 ol… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilen bir $f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki değeri $2$ ve bu noktadaki türevi $5$ olarak bilinmektedir.

Buna göre,

h(x) = \frac{f(x) - 2x}{f(x) + x^2}

kuralı ile belirlenen $h$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevap: 1

Türevin x = 1 noktasındaki değeri 1'dir.

Bölüm türevi kuralı ve türevin doğrusal özellikleri doğrudan uygulandığında

h'(1) = 1

sonucuna ulaşılır.

Bölüm türevi kuralını yazalım.

h'(x) = \frac{(f(x) - 2x)'(f(x) + x^2) - (f(x) - 2x)(f(x) + x^2)'}{(f(x) + x^2)^2}

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.

Pay ve paydadaki ifadelerin türevlerini alalım.

(f(x) - 2x)' = f'(x) - 2

(f(x) + x^2)' = f'(x) + 2x

Toplam ve fark türevi ile temel kuvvet türevi kuralları (

x^2 \to 2x

) uygulanır.

h'(x)

ifadesini düzenleyip

x=1

değerini yerine yazalım.

h'(1) = \frac{(f'(1) - 2)(f(1) + 1^2) - (f(1) - 2(1))(f'(1) + 2(1))}{(f(1) + 1^2)^2}

x = 1

noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda

x

yerine

1

yazılır.

f(1) = 2

f'(1) = 5

değerlerini yerleştirelim.

h'(1) = \frac{(5 - 2)(2 + 1) - (2 - 2)(5 + 2)}{(2 + 1)^2} = \frac{3 \cdot 3 - 0 \cdot 7}{3^2} = 1

Soru kökündeki verilen değerler kullanılarak aritmetik işlem tamamlanır.

Bölümün Türevi ve Temel Türev Kuralları

Soru