Examkin

Temel Türev Alma Kuralları

49 soru

Tüm türler49Çoktan seçmeli25Sayısal24
Soru 1Soru →
f(x)=(x2−x)3f(x) = (x^2 - x)^3

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Bileşke fonksiyon türev kuralı (zincir kuralı) kullanılarak f(x)=(x2−x)3f(x) = (x^2 - x)^3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3(x2−x)2⋅(2x−1)f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (2x - 1) olarak bulunur. Bu türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında 3(22−2)2⋅(2⋅2−1)=3(2)2⋅(3)=3⋅4⋅3=363(2^2 - 2)^2 \cdot (2 \cdot 2 - 1) = 3(2)^2 \cdot (3) = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanır.
f′(x)=3(x2−x)2⋅(x2−x)′f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (x^2 - x)'
[u(x)]n[u(x)]^n biçimindeki fonksiyonların türevi n⋅[u(x)]n−1⋅u′(x)n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x) formülüyle bulunur.
2
İçteki x2−xx^2 - x ifadesinin türevi hesaplanarak yerine yazılır.
f′(x)=3(x2−x)2⋅(2x−1)f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (2x - 1)
Toplama/çıkarma kural��na göre (x2−x)′=2x−1(x^2 - x)' = 2x - 1 olur.
3
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=3(22−2)2⋅(2⋅2−1)=3(4−2)2⋅(4−1)=3⋅4⋅3=36f'(2) = 3(2^2 - 2)^2 \cdot (2 \cdot 2 - 1) = 3(4 - 2)^2 \cdot (4 - 1) = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini bulmak için türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve temel üs kuralının uygulanması.
Soru 2Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=4g'(3) = 4
eşitlikleri veriliyor.
f(x)=(x2+1)⋅g(2x−1)f(x) = (x^2 + 1) \cdot g(2x - 1)
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48 değeri doğrudur.
Çarpımın türevi kuralı [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ve zincir kuralı [g(2x−1)]′=g′(2x−1)⋅2[g(2x-1)]' = g'(2x-1) \cdot 2 ilkeleri uygulanıp x=2x=2 yazıldığında f′(2)=48f'(2) = 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralını ve zincir kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=2x⋅g(2x−1)+(x2+1)⋅g′(2x−1)⋅2f'(x) = 2x \cdot g(2x-1) + (x^2 + 1) \cdot g'(2x-1) \cdot 2
f(x)f(x) iki fonksiyonun çarpımı biçimindedir ve çarpımın türevi kuralı ile bileşke fonksiyonun türevindeki zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
Bulunan türev denkleminde x yerine 2 yazınız.
f′(2)=2(2)⋅g(2(2)−1)+(22+1)⋅g′(2(2)−1)⋅2=4⋅g(3)+5⋅g′(3)⋅2f'(2) = 2(2) \cdot g(2(2)-1) + (2^2 + 1) \cdot g'(2(2)-1) \cdot 2 = 4 \cdot g(3) + 5 \cdot g'(3) \cdot 2
İstenen f′(2)f'(2) değerini bulmak için tüm değişkenlerin yerine 2 yerleştirilmelidir.
3
Soruda verilen g(3) = 2 ve g'(3) = 4 değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplayınız.
f′(2)=4⋅2+5⋅4⋅2=8+40=48f'(2) = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \cdot 2 = 8 + 40 = 48
Verilen fonksiyonel değerlerin aritmetik işlemleri tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi kuralı ve zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyon türevi hesabı.
Soru 3Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−4x+axf(x) = x^2 - \frac{4}{x} + a\sqrt{x}
fonksiyonu x>0x > 0 için tanımlanmıştır.
f′(4)=9f'(4) = 9
olduğuna göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru türev alma kuralları uygulanarak elde edilen 3 değeri
Fonksiyonun türevi alınıp x=4x = 4 değeri yerine yazıldığında aa değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonu türev almaya uygun şekilde üslü ifade biçiminde düzenleyelim.
f(x)=x2−4x−1+a⋅x1/2f(x) = x^2 - 4x^{-1} + a \cdot x^{1/2}
Üs kuralını kolayca uygulayabilmek için rasyonel ve köklü ifadeleri üslü biçime çeviriyoruz.
2
Türev alma kuralını ([xn]′=n⋅xn−1[x^n]' = n \cdot x^{n-1}) her bir terime uygulayarak fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=2x−4(−1)x−2+a⋅12x−1/2=2x+4x2+a2xf'(x) = 2x - 4(-1)x^{-2} + a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{4}{x^2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}
Türev fonksiyonunu elde etmek için.
3
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 yazalım, sonucu 9'a eşitleyip aa değerini bulalım.
f′(4)=2(4)+442+a24=8+14+a4=9  ⟹  33+a4=9  ⟹  33+a=36  ⟹  a=3f'(4) = 2(4) + \frac{4}{4^2} + \frac{a}{2\sqrt{4}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{a}{4} = 9 \implies \frac{33+a}{4} = 9 \implies 33 + a = 36 \implies a = 3
Verilen f′(4)=9f'(4) = 9 eşitliğini kullanarak bilinmeyen aa değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve üs kuralının uygulanması.
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(3)=2f′(3)=−1g(3)=6g′(3)=8\begin{aligned} f(3) &= 2 \\ f'(3) &= -1 \\ g(3) &= 6 \\ g'(3) &= 8 \end{aligned}
eqitlikleri sağlanmaktadır.
h(x)=(x2−2x)⋅f(x)+g(x)xh(x) = (x^2 - 2x) \cdot f(x) + \frac{g(x)}{x}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(3)h'(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemler yapıldığında h′(3)h'(3) değeri 7 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında h′(3)=7h'(3) = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev kurallarını (çarpım ve bölüm kuralları) belirleme ve türev ifadesini yazma.
h′(x)=(2x−2)⋅f(x)+(x2−2x)⋅f′(x)+x⋅g′(x)−g(x)x2h'(x) = (2x - 2) \cdot f(x) + (x^2 - 2x) \cdot f'(x) + \frac{x \cdot g'(x) - g(x)}{x^2}
h(x)h(x) fonksiyonu iki terimden oluşmaktadır: Birinci terim için çarpım kuralı, ikinci terim için bölüm kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazma.
h′(3)=4⋅f(3)+3⋅f′(3)+3⋅g′(3)−g(3)9h'(3) = 4 \cdot f(3) + 3 \cdot f'(3) + \frac{3 \cdot g'(3) - g(3)}{9}
Türevin x=3x = 3 noktasındaki değerini bulmak için fonksiyondaki tüm xx değişkenleri yerine 3 yazılır.
3
Verilen fonksiyonel değerleri yerine koyarak aritmetik hesaplama yapma.
h′(3)=7h'(3) = 7
f(3)=2f(3) = 2, f′(3)=−1f'(3) = -1, g(3)=6g(3) = 6 ve g′(3)=8g'(3) = 8 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 5Soru →

Türevlenebilen bir ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri 22 ve bu noktadaki türevi 55 olarak bilinmektedir.

Buna göre,
h(x)=f(x)−2xf(x)+x2h(x) = \frac{f(x) - 2x}{f(x) + x^2}

kuralı ile belirlenen hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Türevin x = 1 noktasındaki değeri 1'dir.
Bölüm türevi kuralı ve türevin doğrusal özellikleri doğrudan uygulandığında h′(1)=1h'(1) = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralını yazalım.
h′(x)=(f(x)−2x)′(f(x)+x2)−(f(x)−2x)(f(x)+x2)′(f(x)+x2)2h'(x) = \frac{(f(x) - 2x)'(f(x) + x^2) - (f(x) - 2x)(f(x) + x^2)'}{(f(x) + x^2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin türevlerini alalım.
(f(x)−2x)′=f′(x)−2(f(x) - 2x)' = f'(x) - 2 ve (f(x)+x2)′=f′(x)+2x(f(x) + x^2)' = f'(x) + 2x
Toplam ve fark türevi ile temel kuvvet türevi kuralları (x2→2xx^2 \to 2x) uygulanır.
3
h′(x)h'(x) ifadesini düzenleyip x=1x=1 değerini yerine yazalım.
h′(1)=(f′(1)−2)(f(1)+12)−(f(1)−2(1))(f′(1)+2(1))(f(1)+12)2h'(1) = \frac{(f'(1) - 2)(f(1) + 1^2) - (f(1) - 2(1))(f'(1) + 2(1))}{(f(1) + 1^2)^2}
x=1x = 1 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 11 yazılır.
4
f(1)=2f(1) = 2 ve f′(1)=5f'(1) = 5 değerlerini yerleştirelim.
h′(1)=(5−2)(2+1)−(2−2)(5+2)(2+1)2=3⋅3−0⋅732=1h'(1) = \frac{(5 - 2)(2 + 1) - (2 - 2)(5 + 2)}{(2 + 1)^2} = \frac{3 \cdot 3 - 0 \cdot 7}{3^2} = 1
Soru kökündeki verilen değerler kullanılarak aritmetik işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi ve Temel Türev Kuralları
Soru 6Soru →
Her noktada türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x)⋅g(x)=x3−2x2+5f(x) \cdot g(x) = x^3 - 2x^2 + 5
ilişkisi bulunmaktadır.
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=3g'(2) = 3
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.2

Cevap

Hesaplanan f'(2) türev değeri 0.2 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonların çarpım ilişkisinden öncelikle f(2)=1f(2) = 1 bulunur. Daha sonra her iki tarafın türevi çarpım kuralıyla alınarak f′(2)⋅g(2)+f(2)⋅g′(2)=3x2−4xf'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = 3x^2 - 4x eşitliğine ulaşılır. Burada x=2x=2 ve bilinen değerler yerine yazılarak f′(2)=0.2f'(2) = 0.2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 için eşitliği kullanarak f(2)f(2) değerini bulunuz.
f(2)=1f(2) = 1
f(2)⋅g(2)=23−2(2)2+5f(2) \cdot g(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 5 ve g(2)=5g(2) = 5 olduğundan f(2)⋅5=5f(2) \cdot 5 = 5 ve f(2)=1f(2) = 1 elde edilir.
2
Eşitliğin her iki tarafının türevini alınız.
f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)=3x2−4xf'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 3x^2 - 4x
Sol tarafta çarpımın türevi kuralı, sağ tarafta ise kuvvet kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak f′(2)f'(2) değerini hesaplayınız.
f′(2)=0.2f'(2) = 0.2
f′(2)⋅5+1⋅3=3(2)2−4(2)  ⟹  5f′(2)+3=4  ⟹  5f′(2)=1  ⟹  f′(2)=0.2f'(2) \cdot 5 + 1 \cdot 3 = 3(2)^2 - 4(2) \implies 5f'(2) + 3 = 4 \implies 5f'(2) = 1 \implies f'(2) = 0.2 olur.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi ve Temel Türev Kuralları
Soru 7Soru →

f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında elde edilen sonuç −5-5 sayısıdır.
Verilen rasyonel fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı yardımıyla alınır. Payın türevi 22 ve paydanın türevi 11 olup türev fonksiyonu f′(x)=2(x−1)−1(2x+3)(x−1)2=−5(x−1)2f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=−5(2−1)2=−5f'(2) = \frac{-5}{(2-1)^2} = -5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=−5(x−1)2f'(x) = \frac{-5}{(x-1)^2}
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir. Payın türevi 22, paydanın türevi 11 olduğundan bu kural uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(2)=−5f'(2) = -5
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunda xx değişkeni yerine 22 sayısı yazılır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 8Soru →

ff ve gg, x=2x = 2 noktasında türevlenebilir ve f(2)>0f(2) > 0, g(2)>0g(2) > 0 koşullarını sağlayan iki fonksiyondur.

x=2x = 2 noktasını içeren açık bir aralıktaki her xx değeri için,
f(x)⋅g(x)=x2−3x+4f(x) \cdot g(x) = x^2 - 3x + 4
f(x)g(x)+1=(x−1)2\frac{f(x)}{g(x) + 1} = (x - 1)^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen türev değeri 12'dir.
Verilen fonksiyonel bağıntılardan çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla türev alınarak x=2x=2 için bir denklem sistemi oluşturulur. Buradan f′(2)=3f'(2) = 3 ve g′(2)=−1g'(2) = -1 bulunur. Daha sonra h(x)h(x) fonksiyonuna bölüm türevi uygulandığında h′(2)=12h'(2) = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliklerde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerleri belirlenir.
f(2)⋅g(2)=2f(2) \cdot g(2) = 2 ve f(2)g(2)+1=1\frac{f(2)}{g(2)+1} = 1 denklem sistemi elde edilir. Pozitif değerlilik koşulu altında bu sistem çözüldüğünde g(2)=1g(2) = 1 ve f(2)=2f(2) = 2 bulunur.
Türev denklemlerinde fonksiyonların bu noktadaki değerlerini yerine koyabilmek için.
2
Her iki eşitliğin de xx'e göre türevleri alınır.
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=2x−3f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x - 3 ve f′(x)(g(x)+1)−f(x)g′(x)(g(x)+1)2=2(x−1)\frac{f'(x)(g(x)+1) - f(x)g'(x)}{(g(x)+1)^2} = 2(x-1) türev bağıntıları elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ulaşmak amacıyla temel türev kuralları uygulanır.
3
Türev bağıntılarında x=2x = 2 yazılıp, bilinen fonksiyon değerleri yerine konularak doğrusal denklem sistemi çözülür.
f′(2)+2g′(2)=1f'(2) + 2g'(2) = 1 ve f′(2)−g′(2)=4f'(2) - g'(2) = 4 sistemi elde edilir. Buradan g′(2)=−1g'(2) = -1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
h′(2)h'(2) değerini hesaplamak için gerekli olan türev değerlerini bulmak.
4
h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} ifadesine bölüm ve pay kısmına çarpım türevi kuralı uygulanarak x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=(f(x)+x⋅f′(x))⋅g(x)−x⋅f(x)⋅g′(x)(g(x))2h'(x) = \frac{(f(x) + x \cdot f'(x)) \cdot g(x) - x \cdot f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} ifadesinde değerler yerine konduğunda h′(2)=(2+2⋅3)⋅1−2⋅2⋅(−1)12=12h'(2) = \frac{(2 + 2 \cdot 3) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)}{1^2} = 12 bulunur.
Soruda istenen h′(2)h'(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
Soru 9Soru →

ff ve gg, (0,∞)(0, \infty) aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur.

Her x>0x > 0 için
f(x)⋅g(x)=x3+4x2+12f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4x^2 + 12
f(x)g(x)=x2\frac{f(x)}{g(x)} = x^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, H(x)=x⋅f(x)+g(x)f(x)⋅g(x)H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} olarak tanımlanan H(x)H(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi olan H′(2)H'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

H'(2) değeri 13\frac{1}{3} olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkilerden yararlanılarak x=2x=2 için f(2)=12f(2)=12 ve g(2)=3g(2)=3 değerleri elde edilir. Çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak türev değerleri f′(2)=323f'(2)=\frac{32}{3} ve g′(2)=−13g'(2)=-\frac{1}{3} olarak hesaplanır. H(x)H(x) fonksiyonu xg(x)+1f(x)\frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} şeklinde parçalanıp türevi alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliklerden x=2x = 2 için f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulunuz.
f(2)⋅g(2)=23+4(2)2+12=36f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4(2)^2 + 12 = 36 ve f(2)g(2)=22=4\frac{f(2)}{g(2)} = 2^2 = 4 elde edilir. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan f(2)=4g(2)f(2) = 4g(2) yazılıp çarpım denkleminde yerine konulursa 4[g(2)]2=36⇒g(2)=34[g(2)]^2 = 36 \Rightarrow g(2) = 3 ve dolayısıyla f(2)=12f(2) = 12 bulunur.
Türev hesaplamalarında kullanılacak olan fonksiyon değerlerini belirlemek amacıyla.
2
Eşitliklerin türevlerini alarak f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini bulunuz.
Çarpım türevi kuralından: f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=3x2+8xf'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 + 8x. x=2x=2 için: 3f′(2)+12g′(2)=283f'(2) + 12g'(2) = 28 olur. Bölüm türevi kuralından: f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2=2x\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = 2x. x=2x=2 için: 3f′(2)−12g′(2)9=4⇒3f′(2)−12g′(2)=36\frac{3f'(2) - 12g'(2)}{9} = 4 \Rightarrow 3f'(2) - 12g'(2) = 36 olur. Bu iki denklemin ortak çözümünden f′(2)=323f'(2) = \frac{32}{3} ve g′(2)=−13g'(2) = -\frac{1}{3} elde edilir.
H′(2)H'(2) ifadesinde kullanılacak fonksiyon türev değerlerini bulmak amacıyla.
3
H(x)H(x) ifadesini cebirsel olarak sadeleştirip türevini alınız.
H(x)=x⋅f(x)+g(x)f(x)⋅g(x)=x⋅f(x)f(x)⋅g(x)+g(x)f(x)⋅g(x)=xg(x)+1f(x)H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x \cdot f(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} olur. Her iki tarafın türevi alındığında H′(x)=1⋅g(x)−x⋅g′(x)[g(x)]2−f′(x)[f(x)]2H'(x) = \frac{1 \cdot g(x) - x \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} - \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} elde edilir.
H′(x)H'(x) türev fonksiyonunu daha basit ve hesaplaması kolay bir biçimde ifade etmek amacıyla.
4
Bulunan değerleri türev fonksiyonunda yerine yazarak H′(2)H'(2) değerini hesaplayınız.
H′(2)=3−2(−13)9−323144=1139−32432=1127−227=927=13H'(2) = \frac{3 - 2(-\frac{1}{3})}{9} - \frac{\frac{32}{3}}{144} = \frac{\frac{11}{3}}{9} - \frac{32}{432} = \frac{11}{27} - \frac{2}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} elde edilir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 10Soru →

f(x)=(2x−3)4f(x) = (2x - 3)^4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Fonksiyonun türevi zincir kuralı yardımıyla f′(x)=4(2x−3)3⋅2=8(2x−3)3f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3 olarak bulunur. Burada x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında doğru sonuç olan 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış fonksiyonun türevi alınır.
4(2x−3)34(2x - 3)^3
Üs başa çarpım olarak gelir ve üs 1 azaltılır.
2
İç fonksiyonun türevi alınır ve dış türev ile çarpılır (Zincir Kuralı).
f′(x)=4(2x−3)3⋅2=8(2x−3)3f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3
Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki türev ile içinin türevi çarpılmalıdır.
3
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır.
f′(2)=8(2⋅2−3)3=8(1)3=8f'(2) = 8(2 \cdot 2 - 3)^3 = 8(1)^3 = 8
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) ve temel türev alma kuralları.
Tahmini Süre:45s
Soru 11Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=xx+5xf(x) = x\sqrt{x} + 5x
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f′(4)f'(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazıldığında elde edilen sonuç 88'dir.
Verilen fonksiyon f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x şeklinde düzenlenip temel türev kuralları uygulandığında f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5 türev fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=324+5=3+5=8f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} + 5 = 3 + 5 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri türev almaya uygun şekilde üslü biçimde düzenlemek
f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x
Tabanı aynı olan üslü sayıların çarpımı özelliğini kullanarak köklü ifadeyi tek bir üslü sayı biçiminde yazmak.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5
Üs kuralı (d/dx(xn)=nxn−1d/dx(x^n) = n x^{n-1}) ve toplamın türevi kuralı yardımıyla her bir terimin türevini hesaplamak.
3
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değerini yerine yazmak
8
İstenen f′(4)f'(4) türev değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları yardımıyla üslü ve doğrusal ifadelerin türevlerinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çarpım türevi kuralı uygulanarak da çözülebilir. xxx\sqrt{x} ifadesinin türevi: (x)′⋅x+x⋅(x)′=1⋅x+x⋅12x=x+x2=3x2(x)' \cdot \sqrt{x} + x \cdot (\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} olur. Buradan f′(x)=3x2+5f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + 5 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 ve g(1)=1g(1) = 1 olmak üzere, hh ve kk fonksiyonlarının türevleri sırasıyla
h′(x)=10xh'(x) = 10x
k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}
biçiminde verilmiştir.

Buna göre, f′(1)+g′(1)f'(1) + g'(1) toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.
Çarpım türev kuralından f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve bölüm türev kuralından f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 denklemi elde edilir.
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x) olduğundan çarpım türevi h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) şeklindedir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(1)⋅g(1)+f(1)⋅g′(1)h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) olur. Verilen f(1)=2f(1) = 2, g(1)=1g(1) = 1 ve h′(1)=10h'(1) = 10 değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.
2
Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.
f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemi elde edilir.
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)} olduğundan bölüm türevi k′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} şeklindedir. Bize verilen k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2} ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)=2f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2 elde edilir. x=1x = 1 için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.
f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olarak bulunur.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(1)=12  ⟹  f′(1)=62f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 6+2g′(1)=10  ⟹  2g′(1)=4  ⟹  g′(1)=26 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2 elde edilir.
4
İstenen toplam değerini hesaplayınız.
f′(1)+g′(1)=6+2=8f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8 bulunur.
Soru bizden f′(1)f'(1) ve g′(1)g'(1) değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.
Soru 13Soru →

x>0x > 0 olmak üzere, f(x)=x3−3x2+4xf(x) = x^3 - 3x^2 + 4\sqrt{x} fonksiyonunun x=4x = 4 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuç 25'tir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}} olarak bulunur. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=3(16)−6(4)+1=25f'(4) = 3(16) - 6(4) + 1 = 25 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel türevini bulunuz.
f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}
Polinom terimler için (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} kuralı ve köklü terim için (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} kuralı uygulanmı��tır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(4)=25f'(4) = 25
f′(4)=3(42)−6(4)+24=48−24+1=25f'(4) = 3(4^2) - 6(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} = 48 - 24 + 1 = 25 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak polinom ve köklü ifadelerin türevinin hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 14Soru →
f(x)=(x2−3)(x+1)f(x) = (x^2 - 3)(x + 1)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Çarpım türevi kuralı kullanılarak türev fonksiyonu f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)f'(x) = 2x(x+1) + (x^2-3) olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=13f'(2) = 13 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(x2−3)′⋅(x+1)+(x2−3)⋅(x+1)′f'(x) = (x^2 - 3)' \cdot (x + 1) + (x^2 - 3) \cdot (x + 1)'
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı ile bulunur.
2
Parantez içindeki ifadelerin türevleri alınır.
f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)⋅1f'(x) = 2x(x + 1) + (x^2 - 3) \cdot 1
(x2−3)′=2x(x^2 - 3)' = 2x ve (x+1)′=1(x + 1)' = 1 olduğu için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=2(2)(2+1)+(22−3)=4(3)+1=13f'(2) = 2(2)(2 + 1) + (2^2 - 3) = 4(3) + 1 = 13
İstenen x=2x = 2 noktasındaki türev değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım durumundaki fonksiyonların türevini çarpım kuralı ile hesaplama
Soru 15Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için her xx gerçel sayısı için g(x)≠0g(x) \neq 0’dır.

h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olmak üzere, her xx gerçel sayısı için

h′(x)+[g(x)]2⋅k′(x)=12x2+4h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4
h′(x)−[g(x)]2⋅k′(x)=8xh'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri 18'dir.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile f′(x)g(x)=6x2+2f'(x)g(x) = 6x^2 + 2 ve f(x)g′(x)=4xf(x)g'(x) = 4x eşitliklerine ulaşılır. x=2x=2 için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak h′(x)h'(x) ve k′(x)k'(x) türevlerini yazın.
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ve k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.
2
k′(x)k'(x) ifadesini [g(x)]2[g(x)]^2 ile çarparak sadeleştirin.
[g(x)]2⋅k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Bölüm türevinin paydasındaki [g(x)]2[g(x)]^2 terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f′(x)g(x)f'(x)g(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f′(x)g(x)=12x2+4  ⟹  f′(x)g(x)=6x2+22f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2
Toplama işlemiyle −f(x)g′(x)-f(x)g'(x) ve +f(x)g′(x)+f(x)g'(x) terimleri birbirini sıfırlar.
4
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak f(x)g′(x)f(x)g'(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f(x)g′(x)=8x  ⟹  f(x)g′(x)=4x2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x
Çıkarma işlemiyle f′(x)g(x)f'(x)g(x) terimleri birbirini sıfırlar.
5
x=2x = 2 yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.
f′(2)g(2)−f(2)g′(2)=26−8=18f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18
x=2x=2 için f′(2)g(2)=26f'(2)g(2) = 26 ve f(2)g′(2)=8f(2)g'(2) = 8 değerleri bulunur ve farkları alınır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması
Soru 16Soru →
Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x)
ilişkisi bulunmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 olduğuna göre,
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap olan -6 değeri; sırasıyla çarpım, bölüm ve zincir türev kurallarının doğru şekilde uygulanması, x = 2 noktasındaki iç türevlerin hesaba katılması ve elde edilen değerlerin yerlerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x) eşitliğinde her iki tarafın xx'e göre türevi alınır.
f′(x2−2x)⋅(2x−2)=2x⋅g(2−x)−(x2+1)⋅g′(2−x)f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) = 2x \cdot g(2-x) - (x^2 + 1) \cdot g'(2-x)
Eşitliğin her iki tarafının türevi birbirine eşittir; sol tarafta zincir kuralı, sağ tarafta ise çarpım ve zincir kuralları uygulanır.
2
Elde edilen türev eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f′(0)f'(0) değeri bulunur.
2⋅f′(0)=4⋅g(0)−5⋅g′(0)  ⟹  2⋅f′(0)=4(5)−5(2)  ⟹  f′(0)=52 \cdot f'(0) = 4 \cdot g(0) - 5 \cdot g'(0) \implies 2 \cdot f'(0) = 4(5) - 5(2) \implies f'(0) = 5
x=2x = 2 değeri, f′f' fonksiyonunun içini 00 yapar ve bilinen g(0)g(0) ile g′(0)g'(0) değerlerini kullanmamızı sağlar.
3
Orijinal eşitlikte x=2x = 2 yazılarak f(0)f(0) değeri bulunur.
f(0)=(22+1)⋅g(0)  ⟹  f(0)=5⋅5=25f(0) = (2^2 + 1) \cdot g(0) \implies f(0) = 5 \cdot 5 = 25
h′(2)h'(2) ifadesinin hesaplanması sırasında f(0)f(0) değerine ihtiyaç duyulacaktır.
4
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)} fonksiyonunun bölümün türevi kuralı kullanılarak türevi alınır ve x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=[f′(x2−2x)⋅(2x−2)]⋅g(x2−4)−f(x2−2x)⋅[g′(x2−4)⋅2x][g(x2−4)]2h'(x) = \frac{[f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)] \cdot g(x^2 - 4) - f(x^2 - 2x) \cdot [g'(x^2 - 4) \cdot 2x]}{[g(x^2 - 4)]^2} ve buradan h′(2)=2f′(0)⋅g(0)−f(0)⋅4g′(0)[g(0)]2h'(2) = \frac{2 f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot 4 g'(0)}{[g(0)]^2} elde edilir.
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini almak için b��lümün türevi ve zincir kuralı kuralları birleştirilir.
5
Bulunan f(0)=25f(0) = 25, f′(0)=5f'(0) = 5, g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 değerleri h′(2)h'(2) ifadesinde yerine yazılır.
h′(2)=2(5)⋅5−25⋅4(2)52=50−20025=−6h'(2) = \frac{2(5) \cdot 5 - 25 \cdot 4(2)}{5^2} = \frac{50 - 200}{25} = -6
Gerekli tüm değerler yerine konularak aritmetik işlem tamamlanır ve sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Bölüm, Çarpım ve Zincir Kuralları)
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 17Soru →
f(x)=ax2−5x+3f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonu için f′(3)=7f'(3) = 7 eşitliği sağlandığına göre, aa parametresinin değerini bulunuz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2'dir.
f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonunun türevi f'(x) = 2ax - 5 olarak bulunur. x = 3 için f'(3) = 6a - 5 elde edilir. Bu değer 7'ye eşitlendiğinde 6a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bulunuz.
f′(x)=2ax−5f'(x) = 2ax - 5
Temel türev alma kuralları gereği, xnx^n ifadesinin türevi n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}'dir. Sabit sayının türevi ise sıfırdır.
2
Türev fonksiyonunda x yerine 3 yazarak f'(3) ifadesini oluşturunuz.
f′(3)=6a−5f'(3) = 6a - 5
x=3x = 3 noktasındaki türev değeri soruda verildiği için bu noktayı türev denkleminde yerine koyarız.
3
Elde edilen ifadeyi verilen türev değerine eşitleyerek a'yı çözünüz.
a=2a = 2
f′(3)=7f'(3) = 7 olduğu verildiğinden 6a−5=76a - 5 = 7 denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve türevde değer bulma
Soru 18Soru →

Aşağıdaki tabloda, ff ve gg fonksiyonları ile bu fonksiyonların birinci türevlerinin x=1x = 1 noktasındaki değerleri verilmiştir:

Fonksiyonx=1x=1 noktasındaki değerix=1x=1 noktasındaki türevinin değeri
ff3322
gg−1-155
Buna göre,
h(x)=x2⋅f(x)−g(x)x+1h(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - g(x)}{x + 1}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(1)h'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp tablodaki değerler yerine yazıldığında sonuç yarım olarak bulunur.
Bölüm türevi kuralı ve çarpım türevi kuralı doğru bir şekilde işletilip, verilen değerler yerlerine yerleştirildiğinde sonucun yarım olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)h(x) fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi kuralı kurulur.
h′(x)=[x2⋅f(x)−g(x)]′⋅(x+1)−[x2⋅f(x)−g(x)]⋅(x+1)′(x+1)2h'(x) = \frac{[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' \cdot (x + 1) - [x^2 \cdot f(x) - g(x)] \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay kısmının türevi için çarpım ve fark türevi kuralları uygulanır.
[x2⋅f(x)−g(x)]′=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)−g′(x)[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) - g'(x)
x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesi çarpım durumunda olduğundan çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.
3
Elde edilen ifadelerde x=1x = 1 yazılarak tablodaki değerler yerleştirilir.
Payın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 2(1)⋅f(1)+12⋅f′(1)−g′(1)=2(3)+2−5=32(1) \cdot f(1) + 1^2 \cdot f'(1) - g'(1) = 2(3) + 2 - 5 = 3 olur. Payın x=1x=1 noktasındaki değeri: 12⋅f(1)−g(1)=3−(−1)=41^2 \cdot f(1) - g(1) = 3 - (-1) = 4 olur. Paydanın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 11 olur. Paydanın x=1x=1 noktasındaki değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olur.
Fonksiyonların belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için o noktadaki fonksiyon ve türev değerleri yerine konulur.
4
Bulunan tüm değerler bölüm türevi formülünde birleştirilir.
h′(1)=3⋅2−4⋅122=6−44=24=12h'(1) = \frac{3 \cdot 2 - 4 \cdot 1}{2^2} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Bölüm türevinin sonucunu hesaplamak için tüm adımlardan elde edilen değerler ana formüle yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım türevi kurallarının birlikte uygulanması
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=(x2−3x)⋅g(x)+g(x)x2+1f(x) = (x^2 - 3x) \cdot g(x) + \frac{g(x)}{x^2 + 1}
eşitliği sağlanmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev kuralları uygulanıp bilinen değerler yerine yazıldığında f′(0)f'(0) değeri −5-5 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun türevi toplam kuralı gereği iki ayrı parçada hesaplanır. İlk parçada çarpım kuralı, ikinci parçada bölüm kuralı uygulanır. Elde edilen türev ifadesinde x=0x=0 yazılarak verilen g(0)=5g(0)=5 ve g′(0)=10g'(0)=10 değerleri yerine konduğunda sonuç −5-5 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu çarpım ve bölüm kurallarına göre açma
f′(x)=[(2x−3)⋅g(x)+(x2−3x)⋅g′(x)]+g′(x)⋅(x2+1)−g(x)⋅2x(x2+1)2f'(x) = \left[(2x-3) \cdot g(x) + (x^2-3x) \cdot g'(x)\right] + \frac{g'(x) \cdot (x^2+1) - g(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Toplam durumundaki fonksiyonun türevi alınırken ilk terime çarpım kuralı, ikinci terime ise bölüm kuralı uygulanır.
2
Türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazma
f′(0)=[(−3)⋅g(0)+0]+g′(0)⋅1−g(0)⋅012f'(0) = \left[(-3) \cdot g(0) + 0\right] + \frac{g'(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1^2}
Bizden istenen x=0x=0 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 00 yazılır.
3
Verilen değerleri yerine koyarak aritmetik işlemleri tamamlama
f′(0)=−3⋅5+10=−15+10=−5f'(0) = -3 \cdot 5 + 10 = -15 + 10 = -5
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 değerleri yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kurallarının Uygulanması
Soru 20Soru →

Gerçel sayılar kümesinin x=−1x = -1 dışındaki tüm noktalarında türevlenebilir ff fonksiyonu,

f(x)=x2−f′(2)⋅x−42x+1f(x) = \frac{x^2 - f'(2) \cdot x - 42}{x + 1}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bölümün türevi kuralı uygulanarak fonksiyonun türevi alınır, f′(2)f'(2) sabiti bulunur ve ardından f′(1)=10f'(1) = 10 olarak hesaplanır.
Türev kuralı gereğince f′(2)=5f'(2) = 5 sabiti bulunur. Bu değer yerine yazıldığında elde edilen türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında sonuç 10 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev ifadesindeki f′(2)f'(2) değerini sabit bir sayı olarak belirlemek üzere f′(2)=kf'(2) = k dönüşümü yapılır.
f(x)=x2−kx−42x+1f(x) = \frac{x^2 - kx - 42}{x + 1} fonksiyonu elde edilir.
Türev alma işlemi sırasında bilinmeyen türev değerini bir sabit parametre gibi yönetebilmek için.
2
Elde edilen fonksiyonun türevini almak için bölümün türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(2x−k)(x+1)−(x2−kx−42)⋅1(x+1)2=x2+2x−k+42(x+1)2f'(x) = \frac{(2x - k)(x + 1) - (x^2 - kx - 42) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - k + 42}{(x + 1)^2} türev fonksiyonu bulunur.
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevini hesaplamak için.
3
f′(2)=kf'(2) = k eşitliğini kurmak amacıyla türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır.
k=22+2(2)−k+42(2+1)2  ⟹  k=50−k9  ⟹  10k=50  ⟹  k=5k = \frac{2^2 + 2(2) - k + 42}{(2 + 1)^2} \implies k = \frac{50 - k}{9} \implies 10k = 50 \implies k = 5 değeri bulunur.
Türev fonksiyonundaki bilinmeyen kk sabitinin değerini bulmak için.
4
Bulunan k=5k = 5 değeri türev fonksiyonunda yerine yazılarak f′(1)f'(1) değeri hesaplanır.
f′(x)=x2+2x+37(x+1)2f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 37}{(x + 1)^2} fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=12+2(1)+37(1+1)2=404=10f'(1) = \frac{1^2 + 2(1) + 37}{(1 + 1)^2} = \frac{40}{4} = 10 elde edilir.
Bizden istenen f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin parametre olarak kullanıldığı fonksiyonların çözümü.
Sayfa 1 / 3Sonraki
Temel Türev Alma Kuralları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin