Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
x2−ax+a+3≤0x^2 - ax + a + 3 \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunabilmesi için ifadenin diskriminantının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir. Buradan elde edilen a2−4a−12≥0a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinin pozitif tam sayılardaki en küçük çözümü 6 olarak bulunur.
Verilen ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunması için ifadenin diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Δ=a2−4a−12≥0\Delta = a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinden aa değerleri (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) aralığında bulunur. Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük aa değeri 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin boş küme olmaması için gereken diskriminant koşulunu belirleme
Δ≥0\Delta \geq 0 olmalıdır.
Başkatsayısı pozitif olan bir parabolün negatif veya s��fır değerini alabilmesi, xx eksenini kesmesi ya da teğet olması ile mümkündür.
2
Diskriminantı aa değişkeni cinsinden hesaplama
Δ=a2−4a−12\Delta = a^2 - 4a - 12
ax2+bx+cax^2 + bx + c yapısında Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Diskriminant eşitsizliğini çözerek aa için uygun aralıkları bulma
a≤−2a \leq -2 veya a≥6a \geq 6
(a−6)(a+2)≥0(a - 6)(a + 2) \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosu oluşturulur.
4
Pozitif tam sayı şartını sağlayan en küçük aa değerini bulma
6
a≥6a \geq 6 aralığındaki en küçük pozitif tam sayı 6'dır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesinin varlığı için diskriminant analizi
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi