Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Gerçel katsayılı f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir. r>0r > 0 ve f(0)<0f(0) < 0 olduğu bilinmektedir. f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi boş kümeden farklı olduğuna göre, rr tepe noktasının apsisi f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin her zaman bir elemanıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme her zaman doğru olmadığından yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a>0a > 0 olması durumunda f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 koşulu f(r)=k<0f(r) = k < 0 olmasını zorunlu kılar. Bu durumda tepe noktasının apsisi olan rr değeri f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğini sağlamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası formunu yazma ve başlangıç koşullarını belirleme
f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x-r)^2 + k şeklinde yazılır. Buradan f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 ve r>0r > 0 olduğu bulunur.
f(0)f(0) değerini tepe noktası koordinatları cinsinden ifade ederek sınır şartını analiz etmek için.
2
Başkatsayı a>0a > 0 (kolları yukarı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a>0a > 0 ise ar2>0ar^2 > 0 olur. ar2+k<0ar^2 + k < 0 eşitsizliğinden k<0k < 0 elde edilir. Bu durumda tepe noktasındaki değer f(r)=k<0f(r) = k < 0 bulunur.
Kolları yukarı doğru olan parabolde tepe noktasının x-ekseninin altında kalıp kalmadığını belirlemek için.
3
Başkatsayı a<0a < 0 (kolları aşağı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a<0a < 0 ise en büyük değer tepe noktasında alınır. Çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması için f(r)=k≥0f(r) = k \ge 0 olmalıdır.
Kolları aşağı doğru olan parabolde eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayı bulunma koşulunu belirlemek için.
4
Genellemenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla karşıt örnek oluşturma
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonu için r=1>0r = 1 > 0, f(0)=−3<0f(0) = -3 < 0'dır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) olup bu küme r=1r=1 elemanını kapsamaz.
a>0a > 0 durumu için ifadenin yanlışlığını somut bir örnekle doğrulamak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerinin, parabolün kollarının yönü (başkatsayının işareti) ve tepe noktasının konumu ile ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi