Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Türev Alma Kuralları

Gerçel sayılar kümesinin −1-1 dışındaki tüm elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere

f(x)=x2+ax+bx+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}

kuralıyla verilmektedir.

f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    -28
  2. B
    -18
  3. -4Cevap
  4. D
    0
  5. E
    2

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Doğru cevap −4-4 değeridir. Fonksiyonun verilen noktadaki değeri ve bölüm türevi yardımıyla elde edilen türev değeri kullanılarak a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı −4-4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kullanarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
Fonksiyonun tanımından f(1)=1+a+b2=2  ⟹  a+b=3f(1) = \frac{1 + a + b}{2} = 2 \implies a + b = 3 olur.
2
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) türev fonksiyonunu bulmak ve x=1x = 1 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
a−b=5a - b = 5
f′(x)=(2x+a)(x+1)−(x2+ax+b)(x+1)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x + 1) - (x^2 + ax + b)}{(x + 1)^2} olup x=1x = 1 için f′(1)=(2+a)(2)−(1+a+b)4=2  ⟹  4+2a−(1+a+b)=8  ⟹  3+a−b=8  ⟹  a−b=5f'(1) = \frac{(2 + a)(2) - (1 + a + b)}{4} = 2 \implies 4 + 2a - (1 + a + b) = 8 \implies 3 + a - b = 8 \implies a - b = 5 elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
a=4a = 4 ve b=−1b = -1
a+b=3a + b = 3 ve a−b=5a - b = 5 denklemleri taraf tarafa toplanarak 2a=8  ⟹  a=42a = 8 \implies a = 4 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında b=−1b = -1 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
−4-4
a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve fonksiyonlarda türev uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Türev Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru