Examkin

Soru

Zorluk: Zorİndirgemeli Diziler
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisi, her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an1+4nana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}
indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

a1=15a_1 = \frac{1}{5} olduğuna göre, 1a11\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.
Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark bn+1−bn=4nb_{n+1} - b_n = 4n olarak elde edilir. Bu farkların n=1n=1'den 1010'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 sonucunu verir. b1=5b_1 = 5 değeri yerine yazıldığında b11=225b_{11} = 225 bulunur. Buradan 1a11=b11=225=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması
bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} tanımıyla bn+1=bn+4nb_{n+1} = b_n + 4n elde edilir.
Paydada ana_n terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.
2
Ardışık terimlerin farklarının n=1n=1'den n=10n=10'a kadar taraf tarafa toplanması
b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve b11b_{11} ile b1b_1 arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
İlk terim yardımıyla b11b_{11} değerinin hesaplanması
b11=225b_{11} = 225 elde edilir.
a1=15a_1 = \frac{1}{5} olarak verildiğinden b1=5b_1 = 5 olur ve bu değer toplama eklenerek b11b_{11} bulunur.
4
İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması
1a11=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15 elde edilir.
b11=1a11b_{11} = \frac{1}{a_{11}} olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru