Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir g fonksiyonu için \begin{aligned} g(2) &= 2 \\ g'(2) &= 3 \end{aligned}\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, f(x) = \frac{g(x)}{x^2 + g(x)} biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi olan f'(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir g fonksiyonu için \begin{aligned} g(2) &… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

g

fonksiyonu için

\begin{aligned} g(2) &= 2 \\ g'(2) &= 3 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

f(x) = \frac{g(x)}{x^2 + g(x)}

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türevi olan

f'(2)

değeri kaçtır?

Türevin doğru değeri

\frac{1}{9}

olarak bulunur.

Bölümün türevi kuralı

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

doğru bir şekilde uygulanıp

x=2

için verilen

g(2)=2

g'(2)=3

değerleri yerine konulduğunda sonuç

\frac{1}{9}

bulunur.

Bölüm kuralını uygulayarak

f(x)

fonksiyonunun türev ifadesini yazalım.

f'(x) = \frac{g'(x) \cdot (x^2 + g(x)) - g(x) \cdot (2x + g'(x))}{(x^2 + g(x))^2}

Bölümün türevi formülü

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

şeklindedir.

Türev ifadesinde

x = 2

yazalım.

f'(2) = \frac{g'(2) \cdot (2^2 + g(2)) - g(2) \cdot (2(2) + g'(2))}{(2^2 + g(2))^2}

x = 2

noktasındaki türev değerini bulmak için değişken yerine 2 yazarız.

Verilen

g(2) = 2

g'(2) = 3

değerlerini yerleştirip işlemleri yapalım.

f'(2) = \frac{3 \cdot (4 + 2) - 2 \cdot (4 + 3)}{(4 + 2)^2} = \frac{18 - 14}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

Sayısal değerleri yerine koyarak sadeleştirme yaparız.

Bölümün Türevi Kuralı