Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu her x > 0 için \int \frac{f'(x)}{x^2} \, dx = x^2 - 3x + C_1 \neşitliğini sağlamaktadır. f(2) = 3 olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır? (Burada C_1 integral sabitidir.)

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu her x > … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu her

x > 0

için

\int \frac{f'(x)}{x^2} \, dx = x^2 - 3x + C_1

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2) = 3

olduğuna göre,

f(1)

değeri kaçtır?
(Burada

C_1

integral sabitidir.)

Beş bölü iki

İntegral ile türev arasındaki ters ilişki kullanılarak eşitliğin türevi alınmış, elde edilen türev fonksiyonu

x^2

ile çarpılarak

f'(x)

elde edilmiştir. Ardından integral kuralları ile

f(x)

fonksiyonu bulunmuş ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabiti hesaplanmıştır. Son adımda

x = 1

yazılarak beş bölü iki sonucuna ulaşılmıştır.

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

\frac{f'(x)}{x^2} = 2x - 3

Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

Elde edilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılarak türev fonksiyonu yalnız bırakılır.

f'(x) = 2x^3 - 3x^2

f'(x)

fonksiyonunu elde etmek için eşitliğin her iki tarafı

x^2

ile çarpılır.

f(x)

fonksiyonuna ulaşmak için

f'(x)

ifadesinin belirsiz integrali alınır.

f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + C_2

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

f(2) = 3

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti hesaplanır.

C_2 = 3

yani

f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 3

x = 2

değeri fonksiyonda yerine yazılarak eşitlik sağlanır.

Fonksiyonda

x = 1

yazılarak istenen değer hesaplanır.

f(1) = \frac{5}{2}

f(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = \frac{5}{2}

işlemi sonuçlandırılır.

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve temel integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin türevi integralin içine eşit olduğundan, doğrudan türev alarak

f'(x)

elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s