Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİndirgemeli Diziler

Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)⋅2n−1a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan a5a_5 kaçtır?

Cevap: 510

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 510'dur.
Verilen bağıntı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ile bölündüğünde an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1} teleskopik yapısı elde edilir. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü ile b5=b1+15=17b_5 = b_1 + 15 = 17 bulunur. Buradan a5=30⋅b5=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 510 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1)+2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}
Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi b1b_1 hesaplanır.
bn+1=bn+2n−1b_{n+1} = b_n + 2^{n-1} ve b1=a11⋅2=42=2b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2 elde edilir.
Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.
3
bn+1−bn=2n−1b_{n+1} - b_n = 2^{n-1} bağıntısında n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.
b5−b1=20+21+22+23=1+2+4+8=15b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ve buradan b5=2+15=17b_5 = 2 + 15 = 17 bulunur.
Teleskopik toplam yöntemiyle b5b_5 değerini doğrudan bulmak için.
4
b5=a55⋅6b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6} eşitliğinden faydalanılarak a5a_5 çekilir.
a5=30⋅b5=30⋅17=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510 elde edilir.
Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru