Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Türev Alma Kuralları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=6x−2y = 6x - 2 olarak verilmiştir.

Buna göre,
f(x)=g(x2)x+1f(x) = \frac{g(x^2)}{x+1}
fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçt��r?
  1. A
    2
  2. B
    -3
  3. 5Cevap
  4. D
    7
  5. E
    10

Cevap

Türev kuralının doğru uygulanmasıyla elde edilen sonuç 5 sayısıdır.
Verilen teğet doğrusu yardımıyla g(1)=4g(1) = 4 ve g′(1)=6g'(1) = 6 değerleri bulunur. Bölümün türevi ve zincir kuralları doğru bir biçimde uygulanarak elde edilen türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında pay kısmındaki değer 2020, payda kısmındaki değer ise 44 olur. Bu iki değerin oranı bize doğru cevap olan 5 sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun o noktadaki değerini ve türevini bulunuz.
g(1)=4g(1) = 4 ve g′(1)=6g'(1) = 6
Teğet noktasının koordinatları teğet doğrusunu sağlar, dolayısıyla x=1x=1 için g(1)=6(1)−2=4g(1) = 6(1) - 2 = 4 olur. Teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşit olduğundan g′(1)=6g'(1) = 6 elde edilir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi ve zincir kuralını uygulayınız.
f′(x)=2x⋅g′(x2)⋅(x+1)−g(x2)(x+1)2f'(x) = \frac{2x \cdot g'(x^2) \cdot (x+1) - g(x^2)}{(x+1)^2}
Bölümün türevi kuralına göre payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi uygulanır. Paydaki g(x2)g(x^2) fonksiyonunun türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türevi olan 2x2x çarpanı başa gelir.
3
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazarak hesaplamayı tamamlayınız.
f′(1)=5f'(1) = 5
f′(1)=2(1)⋅g′(1)⋅(1+1)−g(1)(1+1)2=2⋅6⋅2−44=24−44=5f'(1) = \frac{2(1) \cdot g'(1) \cdot (1+1) - g(1)}{(1+1)^2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 2 - 4}{4} = \frac{24 - 4}{4} = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kuralı, zincir kuralı ve teğet eğimi-türev ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Türev Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru