Examkin

Soru

Zorluk: ZorSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olan bir ff fonksiyonunun her x0x_0 gerçel sayısı için limiti mevcut ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| eşitliği sağlandığına göre, ff fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olduğu önermesi doğru bir önerme midir?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (False). Bir fonksiyonun mutlak değerinin limitinin o noktadaki görüntünün mutlak değerine eşit olmas�� ve fonksiyonun limitinin var olması, fonksiyonun kendisinin sürekli olduğunu garanti etmez; çünkü limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri zıt işaretli olabilir.
Verilen önerme yanlıştır. Çünkü bir fonksiyonun limitinin bulunması ve mutlak değerinin limitinin görüntüsünün mutlak değerine eşit olması, o noktada limitin görüntünün kendisine eşit olmasını garanti etmez. Limit değeri görüntünün zıt işaretlisine eşit olduğunda (L=−f(x0)≠0L = -f(x_0) \neq 0) fonksiyon süreksiz olur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik tanımını gözden geçirme ve verilen koşulları analiz etme
Bir ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında sürekli olması için lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) olmalıdır. Bize verilenler ise lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L limitinin varlığı ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| koşuludur.
Verilen koşulların süreklilik tanımıyla doğrudan uyuşup uyuşmadığını anlamak için.
2
Limit kurallarını mutlak değer fonksiyonuna uygulama
Eğer lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L ise, mutlak değer fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣L∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L| olur. Bize verilen diğer eşitlikle birleştirirsek ∣L∣=∣f(x0)∣|L| = |f(x_0)| elde edilir.
Limit değerinin mutlak değeri ile fonksiyonun o noktadaki değerinin mutlak değerinin ilişkisini kurmak için.
3
Mutlak değer eşitliğini çözme ve olası durumları inceleme
∣L∣=∣f(x0)∣|L| = |f(x_0)| eşitliğinden L=f(x0)L = f(x_0) veya L=−f(x0)L = -f(x_0) elde edilir. Eğer L=−f(x0)L = -f(x_0) ve f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 ise, lim⁡x→x0f(x)=−f(x0)≠f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = -f(x_0) \neq f(x_0) olacağından fonksiyon sürekli olmaz.
İfadenin her durumda doğru olup olmadığını belirlemek için karşıt bir durum aramaktır.
4
Karşıt örnek (aksine örnek) oluşturma
f(x)={1,x≠0−1,x=0f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases} fonksiyonunu tanımlayalım. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=1\lim_{x \to 0} f(x) = 1 olur ve mevcuttur. lim⁡x→0∣f(x)∣=1\lim_{x \to 0} |f(x)| = 1 ve ∣f(0)∣=∣−1∣=1|f(0)| = |-1| = 1 eşitliği sağlanır. Ancak lim⁡x→0f(x)=1≠f(0)=−1\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = -1 olduğundan fonksiyon x=0x=0'da süreksizdir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.
İddia edilen genel önermeyi çürüten somut bir örnek sunmak için.

Anahtar Kavram

Süreklilik tanımı, limit varlığı ve mutlak değer ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru