Examkin

Soru

Zorluk: ZorEşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Analitik düzlemde y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 ve y>x−1y > x - 1 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesinde bulunan, koordinatları tam sayı olan tüm noktalar koordinat düzleminin birinci bölgesindedir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı tüm noktalar birinci bölgededir.
Verilen eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı noktaların tamamı birinci bölgede yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik sınırlarını belirleyen parabol ve doğrunun kesim noktalarını bulunuz.
−x2+4x−1=x−1  ⟹  x2−3x=0  ⟹  x=0-x^2 + 4x - 1 = x - 1 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3 apsisli noktalarda kesişirler.
Ortak çözüm bölgesinin hangi xx aralığında yer aldığını belirlemek için sınırların kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Ortak çözüm bölgesini tanımlayan eşitsizlik şartlarını analiz ederek xx aralığını belirleyiniz.
y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 (parabolün alt bölgesi) ve y>x−1y > x - 1 (doğrunun üst bölgesi, doğrunun kendisi hariç) olduğundan, bu şartların ikisini de sağlayan bölge x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığındadır.
Parabolün kollarının aşağı doğru olması ve x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığında parabolün doğrudan daha büyük değerler alması nedeniyle ortak bölge bu aralıkta sınırlanır.
3
Bu aralıktaki tam sayı xx değerlerine karşılık gelen tam sayı yy değerlerini bulunuz.
x=1x = 1 için 0<y≤2  ⟹  y∈{1,2}0 < y \leq 2 \implies y \in \{1, 2\} olup noktalar (1,1)(1,1) ve (1,2)(1,2)'dir. x=2x = 2 için 1<y≤3  ⟹  y∈{2,3}1 < y \leq 3 \implies y \in \{2, 3\} olup noktalar (2,2)(2,2) ve (2,3)(2,3)'tür.
xx bir tam sayı iken eşitsizlik sistemini sağlayan ve ordinatı (yy) de tam sayı olan tüm noktaları listelemek gerekir.
4
Bulunan noktaların koordinat düzlemindeki bölgelerini kontrol ediniz.
Bulunan tüm noktaların ((1,1),(1,2),(2,2),(2,3)(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)) hem apsisleri hem de ordinatları pozitif olduğu için tamamı birinci bölgededir.
Koordinat düzleminde her iki bileşeni de pozitif olan noktalar 1. bölgede yer alır.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde ortak çözüm bölgesinin bulunması ve bu bölgedeki noktaların analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru