Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Dik koordinat düzleminde y≥x2−2x−3y \geq x^2 - 2x - 3 ve y<−x+3y < -x + 3 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgede yer alan ve koordinatları tam sayı olan tüm (x,y)(x, y) noktaları için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer −3-3'tür.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayı koordinatlı noktalar incelendiğinde x+yx+y toplamının en küçük değeri −3-3 olarak elde edilir.
Belirlenen sınır koşulları altında eşitsizlik sistemini sağlayan tüm tam sayı noktaları arasından seçilen (0, -3) ve (1, -4) noktaları en küçük toplam değerini (-3) vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin denklemlerini yazıp kesişim noktalarını bulunuz.
x2−2x−3=−x+3  ⟹  x2−x−6=0  ⟹  x=−2x^2 - 2x - 3 = -x + 3 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = -2 ve x=3x = 3 kesişim noktalarının apsisleridir.
Bölgenin xx ekseni üzerindeki sınırlarını belirlemek ve tam sayı apsisleri daraltmak için kesişim noktaları gereklidir.
2
Eşitsizliklerin yönlerine ve sınırların dahil olup olmama durumuna dikkat ederek bölgedeki olası tam sayı apsisleri (xx) belirleyiniz.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesi için −2<x<3-2 < x < 3 olmalıdır. Dolayısıyla alabileceğimiz tam sayı apsisler x∈{−1,0,1,2}x \in \{-1, 0, 1, 2\} değerleridir.
Ortak bölgede yer alan noktaların apsisleri kesişim noktalarının arasında kalmalıdır.
3
Her bir tam sayı apsis için x2−2x−3≤y<−x+3x^2 - 2x - 3 \leq y < -x + 3 koşulunu sağlayan tam sayı ordinatları (yy) bulunuz.
x=−1x = -1 için 0≤y<4  ⟹  y∈{0,1,2,3}0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\}
x=0x = 0 için −3≤y<3  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0,1,2}-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}
x=1x = 1 için −4≤y<2  ⟹  y∈{−4,−3,−2,−1,0,1}-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}
x=2x = 2 için −3≤y<1  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0}-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\}
Bölgedeki tüm tam sayı noktaları tespit etmek için her xx değerine karşılık gelen yy sınırları hesaplanır.
4
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) ikilileri için x+yx + y değerlerini hesaplayıp en küçüğünü bulunuz.
(0,−3)(0, -3) noktası için 0+(−3)=−30 + (-3) = -3 ve (1,−4)(1, -4) noktası için 1+(−4)=−31 + (-4) = -3 en küçük toplam değerini verir.
Tüm aday noktalar arasında toplamı minimize eden noktalar belirlenir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma (düz çizgi) / olmama (kesikli çizgi) durumlarının analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru