Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Analitik düzlemde, y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 ve y−x>1y - x > 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı (x,y)(x, y) noktalarından, koordinatları toplamı asal sayı olanların sayısı 8'dir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan ve koordinatları toplamı asal sayı olan tam sayı koordinatlı nokta sayısı 8 olduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı noktalar listelenip koordinatları toplamı kontrol edildiğinde, asal sayı toplamı veren tam olarak 8 farklı nokta elde edilmektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin kesim noktalarını bularak xx değişkeninin alabileceği tam sayı aralığını belirleyin.
−x2+4x+5=x+1  ⟹  x2−3x−4=0  ⟹  (x−4)(x+1)=0-x^2 + 4x + 5 = x + 1 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla ortak bölgedeki noktalar için apsis değerleri −1≤x≤4-1 \le x \le 4 aralığında olmalıdır.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgenin s��nırlarını belirlemek ve bu bölgedeki tam sayıları sınırlandırmak için kesim noktaları tespit edilir.
2
Sınırların dahil olma durumlarını analiz edin.
y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 eşitsizliğinde eşitlik sembolü (≤\le) olduğundan parabol üzerindeki noktalar bölgeye dahildir. y>x+1y > x + 1 eşitsizliğinde ise büyüktür (>>) sembolü olduğundan doğru üzerindeki noktalar bölgeye dahil değildir.
Hangi sınır noktalarının çözüm kümesine dahil edileceğini doğru şekilde ayırt etmek için sınırların dahil olma durumları belirlenir.
3
Belirlenen xx tam sayı değerleri için eşitsizlik sistemini sağlayan yy tam sayı değerlerini tek tek bulun.
x=−1x = -1 için: 0<y≤00 < y \le 0 (Çözüm yok)
x=0x = 0 için: 1<y≤5  ⟹  y∈{2,3,4,5}1 < y \le 5 \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}
x=1x = 1 için: 2<y≤8  ⟹  y∈{3,4,5,6,7,8}2 < y \le 8 \implies y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}
x=2x = 2 için: 3<y≤9  ⟹  y∈{4,5,6,7,8,9}3 < y \le 9 \implies y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}
x=3x = 3 için: 4<y≤8  ⟹  y∈{5,6,7,8}4 < y \le 8 \implies y \in \{5, 6, 7, 8\}
x=4x = 4 için: 5<y≤55 < y \le 5 (Çözüm yok)
Bölge içindeki tüm tam sayı koordinatlı aday noktaları listelemek için apsis değerlerine göre ordinat aralıkları incelenir.
4
Bulunan noktaların koordinatları toplamını (x+yx+y) hesaplayıp asal sayı olanları seçin.
x=0x = 0 için: 0+2=20+2=2 (asal), 0+3=30+3=3 (asal), 0+4=40+4=4, 0+5=50+5=5 (asal)   ⟹  \implies (0,2),(0,3),(0,5)(0,2), (0,3), (0,5) (3 nokta)
x=1x = 1 için: 1+3=41+3=4, 1+4=51+4=5 (asal), 1+5=61+5=6, 1+6=71+6=7 (asal), 1+7=81+7=8, 1+8=91+8=9   ⟹  \implies (1,4),(1,6)(1,4), (1,6) (2 nokta)
x=2x = 2 için: 2+4=62+4=6, 2+5=72+5=7 (asal), 2+6=82+6=8, 2+7=92+7=9, 2+8=102+8=10, 2+9=112+9=11 (asal)   ⟹  \implies (2,5),(2,9)(2,5), (2,9) (2 nokta)
x=3x = 3 için: 3+5=83+5=8, 3+6=93+6=9, 3+7=103+7=10, 3+8=113+8=11 (asal)   ⟹  \implies (3,8)(3,8) (1 nokta)
Toplamda 8 adet nokta elde edilir.
Önermede belirtilen koordinatları toplamının asal sayı olması koşulunu sağlayan noktaların sayısını bulmak için tüm aday noktalar test edilir.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi, sınır eğrilerinin (parabol ve doğru) dahil olma durumları ve bölge içindeki tam sayı koordinatlı noktaların analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru