Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Analitik düzlemde, y≥x2−4y \geq x^2 - 4 ve y<−x+2y < -x + 2 eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatlarının her ikisi de tam sayı olan tam 2020 farklı nokta bulunur.

Cevap: Cevap

Cevap

Eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatları tam sayı olan tam 20 farklı nokta bulunduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin ortak bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı noktaların sayısı, sınırların kesişim noktaları ve dahil olma durumları dikkate alınarak tek tek hesaplandığında tam olarak 20 adet olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin kesişim noktalarını belirleme
x2−4=−x+2  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0x^2 - 4 = -x + 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin hangi xx aralığında yer aldığını bulmak için sınırların kesişim noktalarını tespit etmemiz gerekir.
2
Eşitsizlik sınırlarının dahil olma durumlarını analiz etme
y≥x2−4y \geq x^2 - 4 eşitsizliğinde sınır parabolü bölgeye dahildir. y<−x+2y < -x + 2 eşitsizliğinde ise sınır doğrusu bölgeye dahil değildir.
Tam sayı koordinatlı noktaları sayarken sınır çizgileri üzerindeki noktaların dahil olup olmadığını doğru belirlemek gerekir.
3
Apsis değerlerine göre tam sayı olan ordinat değerlerini hesaplama
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri için x2−4≤y<−x+2x^2 - 4 \leq y < -x + 2 aralığındaki tam sayı yy değerleri şu şekildedir:
- x=−2x = -2 için 0≤y<4  ⟹  y∈{0,1,2,3}0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\} (44 nokta)
- x=−1x = -1 için −3≤y<3  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0,1,2}-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} (66 nokta)
- x=0x = 0 için −4≤y<2  ⟹  y∈{−4,−3,−2,−1,0,1}-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\} (66 nokta)
- x=1x = 1 için −3≤y<1  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0}-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\} (44 nokta)
Her bir xx tam sayı değeri için sınır koşullarını sağlayan yy tam sayılarının adedini bulmak gerekir.
4
Toplam nokta sayısını hesaplama
Toplam nokta sayısı 4+6+6+4=204 + 6 + 6 + 4 = 20 olarak bulunur.
Bulunan tüm durumların toplamını alarak bölgedeki toplam tam sayı nokta sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru