a bir gerçel sayı olmak üzere, \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 12}{x^2 - 5x + 6} limiti bi… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 12}{x^2 - 5x + 6}

limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

Limit değeri 7 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 7 değeri, limitin var olması için gereken

a=1

parametresi bulunduktan sonra limit ifadesindeki belirsizliğin

(x-3)

çarpanlarının sadeleştirilmesiyle giderilmesi ve kalan ifadede

x=3

yazılıp hesaplanmasıyla elde edilir.

Paydanın

x = 3

için sıfır olduğunu belirlemek ve limitin gerçel sayı olması için payın da sıfır olması gerektiğini saptamak.

Payda olan

x^2-5x+6

ifadesinde

x=3

yazıldığında

3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0

olur. Limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için pay kısmının da

x=3

için sıfır olması gerekir:

3^2 + 3a - 12 = 0

Eğer pay sıfır olmasaydı, limit gerçel bir sayı yerine tanıms��z (sonsuz) olurdu.

a

parametresini hesaplamak.

9 + 3a - 12 = 0 \Rightarrow 3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 1

bulunur.

Limit ifadesindeki payı tam olarak belirleyip çarpanlarına ayırabilmek için

a

değerine ihtiyaç duyulmaktadır.

a = 1

değerini yerine yazarak pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak ve belirsizliği gidermek.

Limit ifadesi

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 5x + 6}

haline gelir. Payı

(x-3)(x+4)

ve paydayı

(x-3)(x-2)

şeklinde çarpanlarına ayırırız. Buradan limit:

\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+4}{x-2}

olur.

0/0

belirsizliğine neden olan ortak

(x-3)

çarpanını sadeleştirmek için.

Sadeleştirilmiş ifadede

x=3

değerini yerine yazarak limit değerini bulmak.

\frac{3+4}{3-2} = \frac{7}{1} = 7

elde edilir.

Belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Limitlerde

0/0

belirsizliği durumunda, belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru