Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
a∈Ra \in \mathbb{R} olmak üzere,
(a−3)x2−4x+a>0(a - 3)x^2 - 4x + a > 0

ikinci dereceden eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, aa parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin her gerçel sayı için daima pozitif değerler alması için a−3>0a - 3 > 0 ve diskriminantın Δ<0\Delta < 0 olması gerekir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü a>4a > 4 aralığını verir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Daima pozitiflik şartlarını belirleme
a−3>0a - 3 > 0 ve Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir fonksiyonun daima pozitif değerler alması için kollarının yukarı doğru olması ve grafiğinin x-eksenini kesmemesi gerekir.
2
Baş katsayı koşulunu çözme
a>3a > 3
a−3>0a - 3 > 0 eşitsizliğinin çözülmesiyle baş katsayının pozitif olma aralığı bulunur.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurma ve sadeleştirme
a2−3a−4>0a^2 - 3a - 4 > 0
Δ=16−4a(a−3)<0\Delta = 16 - 4a(a - 3) < 0 ifadesini düzenleyip −4-4'e bölerek aa cinsinden ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir.
4
Diskriminant eşitsizliğinin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme
a∈(−∞,−1)∪(4,∞)a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)
a2−3a−4=0a^2 - 3a - 4 = 0 denkleminin kökleri olan −1-1 ve 44 değerleri ile işaret tablosu oluşturularak pozitif bölgeler belirlenir.
5
İki koşulun kesişimini alarak en küçük tam sayıyı belirleme
a>4a > 4 aralığından en küçük tam sayı 5'tir.
Hem baş katsayının pozitiflik şartı (a>3a > 3) hem de diskriminant şartı (a>4a > 4 veya a<−1a < -1) birlikte sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin her gerçel sayı için daima sağlanması koşulu
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi