k bir gerçel sayı olmak üzere, a_n = \sqrt{k \cdot n^2 - 20n + 16} ifadesi bir gerçel sayı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$k$ bir gerçel sayı olmak üzere,

a_n = \sqrt{k \cdot n^2 - 20n + 16}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, $k$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Dizi genel teriminin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin her pozitif tam sayı değeri için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan

k \geq \frac{20n - 16}{n^2}

eşitsizliği elde edilir. Bu ifadenin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer

n=2

için 6 olduğundan

k

sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Genel terimin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılarda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu şart

k \geq \frac{20n - 16}{n^2}

biçiminde yazıldığında, sağdaki ifadenin alabileceği en büyük değer

n=2

için 6 olduğundan

k

sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Dizinin tanım kümesini ve gerçel sayı dizisi olma şartını belirleme.

k \cdot n^2 - 20n + 16 \geq 0 \quad (\text{her } n \in \mathbb{Z}^+ \text{ için})

Bir genel terimin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her pozitif tam sayı (

n \in \mathbb{Z}^+

) için tanımlı olması, yani kareköklü ifadenin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

k

parametresini yalnız bırakarak

n

değişkenine bağlı bir eşitsizlik elde etme.

k \geq \frac{20n - 16}{n^2}

n \in \mathbb{Z}^+

olduğundan

n^2 > 0

dır. Eşitsizliğin her iki tarafı

n^2

ile bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez.

b_n = \frac{20n - 16}{n^2}

dizisinin en büyük terimini bulma.

b_1 = 4

b_2 = 6

b_3 = \frac{44}{9} \approx 4,89

b_4 = 4

n \geq 2

için terimler azalan yöndedir. En büyük terim

b_2 = 6

dır.

k

sayısının her

n

pozitif tam sayısı için bu eşitsizliği sağlaması gerektiğinden,

k

değeri bu ifadenin alabileceği en büyük değerden büyük veya eşit olmalıdır.

k

gerçel sayısının alabileceği en küçük değeri belirleme.

k \geq 6

olduğundan en küçük

k

değeri 6'dır.

Her

n \in \mathbb{Z}^+

için eşitsizliğin sağlanabilmesi için

k

'nin alabileceği en küçük değer, dizinin en büyük terimi olan 6'ya eşit olmalıdır.

Bir dizinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesindeki tüm elemanlar (pozitif tam sayılar) için tanımlı olması şartı aranır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru