Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Gerçel say��lar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için ∣f∣|f| fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu bu noktada sürekli olmak zorundadır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Bir fonksiyonun mutlak değerinin bir noktada türevlenebilir olması, fonksiyonun o noktada sürekli olmasını gerektirmez.
Verilen ifade yanlıştır. Karşıt örnek olarak seçilen f(x)=sgn(x)f(x) = \text{sgn}(x) benzeri bir fonksiyonun mutlak değeri sabit fonksiyon olup her yerde türevlenebilirken, fonksiyonun kendisi sıçrama noktasında sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik arasındaki genel ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir. Ancak mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirliği ile orijinal fonksiyonun sürekliliği arasındaki ilişki doğrudan bu kurala uymayabilir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için genel kuralları ve istisnaları belirlemek gerekir.
2
Önermeyi çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) oluşturalım.
f(x)={1,x≥0−1,x<0f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} parçalı fonksiyonunu ele alalım.
Genel bir önermenin yanlış olduğunu göstermenin en doğrudan yolu tek bir karşı örnek sunmaktır.
3
Oluşturulan karşıt örneğin mutlak değerinin türevlenebilirliğini inceleyelim.
∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Bu sabit fonksiyon her xx gerçel sayısı için türevlidir ve türevi sıfırdır ((∣f∣)′(0)=0(|f|)'(0) = 0).
Karşıt örneğin hipotez şartını (∣f∣|f|'in türevlenebilirliği) sağladığını doğrulamak gerekir.
4
Oluşturulan karşıt örneğin x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 ve lim⁡x→0−f(x)=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 olduğundan, limit mevcut değildir ve dolayısıyla fonksiyon x=0x = 0 noktasında sürekli değildir.
Karşıt örneğin hüküm kısmını (ff'in sürekliliği) sağlamadığını göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi, özellikle mutlak değer fonksiyonu altında süreksiz fonksiyonların türevlenebilir fonksiyonlara dönüşebilmesi.

Alternatif Yöntem

Süreksiz bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasını geometrik olarak grafiklerin simetrisi (x eksenine göre yansıma) üzerinden de düşünebiliriz. y=−1y = -1 ve y=1y = 1 doğrularının mutlak değeri tek bir sürekli y=1y = 1 doğrusuna dönüşür.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru