Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşmaktadır.

a3⋅a7=16a4+a6=10\begin{aligned} a_3 \cdot a_7 &= 16 \\ a_4 + a_6 &= 10 \end{aligned}

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    44
  2. 22Cevap
  3. C
    2\sqrt{2}
  4. D
    11
  5. E
    14\frac{1}{4}

Cevap

22
Verilen soruda a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 bağıntısından dizinin 5. terimi a5=4a_5 = 4 olarak bulunur. Aynı özellik yardımıyla a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 elde edilir. Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan a4a_4 ve a6a_6 terimleri 22 ve 88 sayılarıdır. Eğer a4=2a_4 = 2 ve a6=8a_6 = 8 ise a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 eşitliğinden 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 bulunur. Dolayısıyla ortak çarpan 22 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özellikleri kullanılarak a3⋅a7a_3 \cdot a_7 ifadesinin eşitini bulun.
a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 elde edilir. Terimler pozitif gerçel sayı olduğundan a5=4a_5 = 4 bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53 + 7 = 5 + 5).
2
a4a_4 ve a6a_6 terimlerinin çarpımını a5a_5 cinsinden yazın.
a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 bulunur.
Yine aynı indis özelliğinden dolayı 4+6=5+54 + 6 = 5 + 5 olduğundan a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliği geçerlidir.
3
a4a_4 ve a6a_6 terimlerini bulmak için denklem sistemini kurun ve çözün.
a4+a6=10a_4 + a_6 = 10 ve a4⋅a6=16a_4 \cdot a_6 = 16 denklemlerini sağlayan değerler 22 ve 88'dir. Dolayısıyla, (a4,a6)=(2,8)(a_4, a_6) = (2, 8) veya (a4,a6)=(8,2)(a_4, a_6) = (8, 2) olur.
Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan iki sayı x2−10x+16=0x^2 - 10x + 16 = 0 denkleminin kökleridir.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplayın.
a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 formülünden:
- Birinci durumda: 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0).
- İkinci durumda: 2=8⋅r2  ⟹  r2=14  ⟹  r=122 = 8 \cdot r^2 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2} elde edilir.
Ardışık olmayan iki terim arasındaki oran, ortak çarpanın indis farkı kadar kuvvetine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimler arasındaki geometrik ilişki.
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru