f ve g, x = 2 noktasında türevlenebilir ve f(2) > 0, g(2) > 0 koşullarını sağlayan iki fon… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f$ ve $g$ , $x = 2$ noktasında türevlenebilir ve $f(2) > 0$ , $g(2) > 0$ koşullarını sağlayan iki fonksiyondur.

x = 2

noktasını içeren açık bir aralıktaki her

x

değeri için,

f(x) \cdot g(x) = x^2 - 3x + 4

\frac{f(x)}{g(x) + 1} = (x - 1)^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)}$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

İstenen türev değeri 12'dir.

Verilen fonksiyonel bağıntılardan çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla türev alınarak

x=2

için bir denklem sistemi oluşturulur. Buradan

f'(2) = 3

g'(2) = -1

bulunur. Daha sonra

h(x)

fonksiyonuna bölüm türevi uygulandığında

h'(2) = 12

elde edilir.

Eşitliklerde

x = 2

yazılarak

f(2)

g(2)

değerleri belirlenir.

f(2) \cdot g(2) = 2

\frac{f(2)}{g(2)+1} = 1

denklem sistemi elde edilir. Pozitif değerlilik koşulu altında bu sistem çözüldüğünde

g(2) = 1

f(2) = 2

bulunur.

Türev denklemlerinde fonksiyonların bu noktadaki değerlerini yerine koyabilmek için.

Her iki eşitliğin de

x

'e göre türevleri alınır.

f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x - 3

\frac{f'(x)(g(x)+1) - f(x)g'(x)}{(g(x)+1)^2} = 2(x-1)

türev bağıntıları elde edilir.

f'(2)

g'(2)

değerlerine ulaşmak amacıyla temel türev kuralları uygulanır.

Türev bağıntılarında

x = 2

yazılıp, bilinen fonksiyon değerleri yerine konularak doğrusal denklem sistemi çözülür.

f'(2) + 2g'(2) = 1

f'(2) - g'(2) = 4

sistemi elde edilir. Buradan

g'(2) = -1

f'(2) = 3

olarak bulunur.

h'(2)

değerini hesaplamak için gerekli olan türev değerlerini bulmak.

h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)}

ifadesine bölüm ve pay kısmına çarpım türevi kuralı uygulanarak

x = 2

yazılır.

h'(x) = \frac{(f(x) + x \cdot f'(x)) \cdot g(x) - x \cdot f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

ifadesinde değerler yerine konduğunda

h'(2) = \frac{(2 + 2 \cdot 3) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)}{1^2} = 12

bulunur.

Soruda istenen

h'(2)

değerine ulaşmak.

Temel Türev Alma Kuralları

Soru