Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 88 birimkaredir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    6
  3. 4Cevap
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

4
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(2, 0), B(m, 0) ve C(0, 2m) olarak bulunur. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı |m^2 - 2m| formülü ile hesaplanır. Alanın 8 birimkare olması koşulunu sağlayan pozitif m değeri 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
y = 0 için x-eksenini kestiği noktalar x^2 - (m+2)x + 2m = 0 denkleminden (x-2)(x-m) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan x-eksenini kestiği noktalar A(2, 0) ve B(m, 0) olarak bulunur. x = 0 için y-eksenini kestiği nokta C(0, 2m) olarak bulunur.
Eksenleri kesen noktalar üçgenin köşelerini oluşturmaktadır.
2
Oluşan üçgenin alan formülünü kurmak.
Taban uzunluğu |AB| = |m - 2| ve bu tabana ait yükseklik h = |2m|'dir. Üçgenin alanı = (|m - 2| * |2m|) / 2 = |m(m - 2)| = |m^2 - 2m| olarak bulunur.
Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
3
Alanı 8 birimkareye eşitleyip pozitif m değerini çözmek.
|m^2 - 2m| = 8 eşitliğinden m^2 - 2m = 8 veya m^2 - 2m = -8 elde edilir. m^2 - 2m - 8 = 0 denkleminin kökleri m = 4 ve m = -2'dir. m^2 - 2m + 8 = 0 denkleminin diskriminantı negatif olduğundan reel kökü yoktur. Pozitif değer m = 4'tür.
Soruda m gerçel sayısının pozitif değeri sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen değerler sırasıyla m yerine yazılarak denenebilir. Örneğin m = 4 için f(x) = x^2 - 6x + 8 parabolü elde edilir. Eksenleri kestiği noktalar (2,0), (4,0) ve (0,8) olur. Bu noktaların belirttiği üçgenin alanı (2 * 8) / 2 = 8 birimkare olarak doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru