Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası yy ekseni üzerinde olan
f(x)=(a−3)x2+(a2−9)x+12−2af(x) = (a-3)x^2 + (a^2-9)x + 12 - 2a
parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    6
  2. B
    939\sqrt{3}
  3. 18318\sqrt{3}Cevap
  4. D
    36336\sqrt{3}
  5. E
    54

Cevap

Parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 18318\sqrt{3} birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olma koşulundan elde edilen f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denkleminin eksenleri kestiği noktalar olan (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) koordinatlarının oluşturduğu üçgenin alanıdır. Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan bu üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olması şartını uygulayarak aa parametresini belirlemek.
a2−9=0  ⟹  a=3a^2 - 9 = 0 \implies a = 3 veya a=−3a = -3 bulunur. İkinci dereceden fonksiyon tanımı gereği başkatsayı sıfır olamaz: a−3≠0  ⟹  a≠3a - 3 \neq 0 \implies a \neq 3 olmalıdır. Buradan a=−3a = -3 olarak belirlenir.
Bir parabolün tepe noktası yy ekseni üzerinde ise simetri ekseni r=−b2a=0r = -\frac{b}{2a} = 0 olmalıdır, bu da xx teriminin katsayısının sıfır olmasını gerektirir.
2
Bulunan aa değerini yerine yazarak parabol denklemini elde etmek ve yy eksenini kestiği noktayı belirlemek.
f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denklemi elde edilir. x=0x = 0 için y=18y = 18 olduğundan, yy eksenini kestiği nokta (0,18)(0, 18) olarak bulunur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun tam kuralı ortaya çıkarılmalıdır.
3
Parabolün xx eksenini kestiği noktaları belirlemek.
f(x)=0  ⟹  −6x2+18=0  ⟹  x2=3  ⟹  x=±3f(x) = 0 \implies -6x^2 + 18 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} bulunur. Dolayısıyla kesim noktaları (−3,0)(-\sqrt{3}, 0) ve (3,0)(\sqrt{3}, 0) noktalarıdır.
Bir fonksiyonun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.
4
Belirlenen üç kesim noktasını köşe kabul eden üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak bulunur.
Köşeleri (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) olan üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde 232\sqrt{3} birim uzunluğunda, bu tabana ait yüksekliği ise yy ekseni üzerinde 1818 birim uzunluğundadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve tepe noktasının eksenler üzerindeki konumunun katsayılarla ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru