Examkin

Soru

Zorluk: KolayGeometrik Dizi ve Özellikleri

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x-3, x+1x+1 ve x+9x+9 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

  1. 2Cevap
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    7
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Ortak ��arpanı 2 olan seçenektir.
Dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabit olduğundan ortadaki terimin karesi komşu terimlerin çarpımına eşittir. (x+1)2=(x−3)(x+9)(x+1)^2 = (x-3)(x+9) denklemi çözüldüğünde x=7x = 7 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında terimler 4, 8 ve 16 olarak elde edilir. Ortak çarpan ise ardışık iki terimin oranı olan 8/4 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ardışık üç terimi a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 için geçerli olan a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3 özelliğini kullanarak bir denklem kurarız.
(x+1)2=(x−3)⋅(x+9)(x+1)^2 = (x-3) \cdot (x+9) denklemi elde edilir.
Geometrik dizide ardış��k terimlerin oranları birbirine eşittir.
2
Elde edilen denklemdeki ifadeleri açarak xx değerini buluruz.
x2+2x+1=x2+6x−27  ⟹  2x+1=6x−27  ⟹  4x=28  ⟹  x=7x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 27 \implies 2x + 1 = 6x - 27 \implies 4x = 28 \implies x = 7 bulunur.
Dizinin terimlerini sayısal olarak belirlemek için xx bilinmeyeninin çözülmesi gerekir.
3
Bulunan x=7x = 7 değerini terimlerin formüllerinde yerine yazarak dizinin ardışık üç terimini elde ederiz.
Terimler sırasıyla 7−3=47 - 3 = 4, 7+1=87 + 1 = 8 ve 7+9=167 + 9 = 16 olur.
Ortak çarpanı hesaplamak için terimlerin değerlerinin bilinmesi gerekir.
4
Ardışık terimlerden ikincisini birincisine bölerek dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplarız.
r=84=2r = \frac{8}{4} = 2 elde edilir.
Geometrik dizide ortak çarpan, ardışık herhangi iki terimden sonrakinin öncekine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin ardışık terimlerinin oranı sabittir. Dizinin ardışık üç terimi için ortadaki terimin karesi, komşu terimlerin çarpımına eşittir.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimlerin oranı eşit olduğundan doğrudan x+1x−3=x+9x+1\frac{x+1}{x-3} = \frac{x+9}{x+1} eşitliği yazılıp içler dışlar çarpımı yapılarak da aynı denklem elde edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru