Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun bir x0x_0 noktasında limitinin var olması ve lim⁡x→x0−f′(x)=lim⁡x→x0+f′(x)\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) koşulunun sağlanması, bu fonksiyonun x0x_0 noktasında türevlenebilir olması için her zaman yeterli bir koşul mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması şarttır. Fonksiyonun o noktada limitinin olması ve türev fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması, o noktada sürekli olduğunu garanti etmez. Dolayısıyla bu koşullar türevlenebilirlik için her zaman yeterli değildir.
Verilen ifade her zaman doğru değildir; çünkü türevlenebilirlik için süreklilik şarttır ve limitin varlığı ile türev limitlerinin eşitliği sürekliliği garanti etmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyonun x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Yani, lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) eşitli��i sağlanmalıdır.
Süreklilik, türevlenebilmenin temel ve gerekli bir ön koşuludur.
2
Verilen koşulların sürekliliği garanti edip etmediğini inceleyelim.
Soruda ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında limitinin var olduğu ve türev limitlerinin eşit olduğu verilmiştir. Ancak fonksiyonun bu noktadaki değeri olan f(x0)f(x_0) hakkında bilgi verilmemiştir. Dolayısıyla f(x0)≠lim⁡x→x0f(x)f(x_0) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) durumu gerçekleşebilir.
Sürekliliğin sağlanması için limit değerinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması zorunludur.
3
İddianın her zaman doğru olmadığını gösteren bir karşıt örnek sunalım.
f(x)=xf(x) = x (eğer x≠0x \neq 0 ise) ve f(0)=1f(0) = 1 fonksiyonunu seçelim. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 olup mevcuttur. x≠0x \neq 0 için f′(x)=1f'(x) = 1 olduğundan lim⁡x→0−f′(x)=lim⁡x→0+f′(x)=1\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 olur. Ancak f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0 olduğundan fonksiyon sürekli değildir ve dolayısıyla x0=0x_0 = 0'da türevlenemez.
Tek bir karşıt örnek, genel bir iddianın her zaman doğru olmadığını göstermek için yeterlidir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme için sürekliliğin gerekli bir koşul olması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru